Demostrar que existe $\xi \in(-\infty,a) $ tal que $f'(\xi)=0$ .

Question

Supongamos que $f(x)$ es diferenciable en $(-\infty,a]$ , $f(a)f'_{-}(a)\lt0$ y $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ . Demostrar que existe $\xi \in(-\infty,a) $ tal que $f'(\xi)=0$ .

Frome $f(a)f'_{-}(a)\lt0$ sabemos $f(a)\gt0 ,f'_{-}(a)\lt0$ o $f(a)\lt0 ,f'_{-}(a)\gt0$ . Supongamos que $f(a)\gt0 ,f'_{-}(a)\lt0$ entonces $f(x)$ es decreciente hasta $f(a)\gt 0$ . Pero $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ Por lo tanto $f(x)$ alcanza el máximo al principio y luego disminuye a partir de $-\infty$ à $a$ . Por lo tanto la derivada al máximo es cero. Después de esta imaginación, todavía no sé cómo hacer una prueba estricta.

Answer 1

Pista: Primero demuestre que existe un $b<a$ con $f(b)=f(a)$ entonces usa el teorema de Rolle. Para demostrar que debe haber un $b<a$ con $f(b)=f(a)$ suponga lo contrario y derive una contradicción bien con $\lim_{x\to -\infty} f(x)=0$ o con $f_-'(a)<0$ (suponiendo $f(a)>0$ de lo contrario, puede considerar $-f$ en su lugar).

Answer 2

Has identificado bien los dos casos. Supongamos que $f(a)\gt0$ y $f^\prime(a^-)\lt 0$ El segundo caso es similar.

Denote $b = f^\prime(a^-) <0$ . Por definición de derivabilidad, existe $\delta > 0$ tal que $$\left\vert \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} - b \right\vert < \dfrac{-b}{2}$$ para $x \in (a-\delta,a)$ lo que equivale a

$$\dfrac{3b}{2}(x-a) +f(a)> f(x) > \dfrac{b}{2}(x-a)+f(a).$$

En particular $$f(a)<f(a)-\dfrac{b\delta}{4}<f(a-\delta/2)$$

En $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ existe $X < a-\delta$ tal que $f(X) < f(a)$ . Por el Teorema del Valor Intermedio, existe $y \in (X,a- \delta/2)$ tal que $f(y) = f(a)$ . Por el Teorema de Rolle, $f^\prime(\xi) = 0$ para $\xi \in (y, a)$ . Con esto concluye la prueba.

Answer 3

Prueba

Según la hipótesis $f(a)f'_-(a)<0$ podemos saberlo: 1) $f(a)>0$ y $f'_-(a)<0$ o 2) $f(a)<0$ y $f'_-(a)>0.$ Aquí sólo trataremos el caso 1) . En cuanto al caso 2) la prueba debería ser similar.

Si existe un punto $p \in (-\infty,a)$ tal que $f'(p)>0$ . Entonces podemos aplicar Teorema de G.Darboux que afirma la propiedad de valor intermedio de la derivada, y afirmar que: puesto que $f'(p)>0$ y $f'(a)<0,$ entonces existe necesariamente un punto $\xi \in (p,a)\subset (-\infty,a)$ tal que $f'(\xi)=0$ que es lo que queremos.

Si no es así, entonces aparentemente sólo tenemos que discutir el caso de que $f'(x)<0$ para todos $x \in (-\infty,a).$ Si es así $f(x)$ es decreciente en $(-\infty,a)$ . Por lo tanto， $f(x)<\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=0$ para todos $x \in (-\infty,a),$ que contradice $f(a)>0$ . Eso es porque eso, $\lim\limits_{x \to a-}f(x)=f(a)>0$ implica que existe un $\delta>0$ tal que $f(x)>0$ cuando $a-\delta<x<a$ .

Hasta aquí la prueba.