¿Una torre de irracionales?

Question

Establecer $x_0:=1$ y para cada $n\in\mathbb{N}$ configure $x_n:=2^{\frac{1}{2}x_{n-1}}$ Así que $$x_1=\sqrt{2},\; x_2=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}, x_3=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}},\ldots$$ Sin duda el $x_n$ son irracionales para todos $n\in\mathbb{N}=\{1, 2,\ldots\}$ . (¿Cómo) podemos demostrarlo?

Answer 1

Sin duda el $x_n$ son irracionales para todos $n∈N={1,2,…}$

La prueba de esa afirmación le haría ganar una buena cantidad de fama, ya que la irracionalidad de $x_n$ para $n>2$ sigue siendo un problema abierto.

De hecho, se puede utilizar el Teorema de Gelfond-Schneider para demostrar que $\sqrt 2^{\sqrt 2}$ es trascendental:

Teorema (Gelfond-Schneider). Si $a$ y $b$ son números algebraicos con $a ≠ 0, a ≠ 1$ y $b$ irracional, entonces cualquier valor de $a^b$ i número trascendental.

Sin embargo, actualmente no disponemos de herramientas para evaluar la irracionalidad de números como $\sqrt 2^{{\sqrt 2}^{\sqrt 2}}$ donde el exponente es trascendental.

Sin embargo, existen otros números relacionados cuya racionalidad es conocida, por ejemplo la torre infinita

$$\sqrt 2^{{{\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{\ldots}}}} = \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}4]{4}^{{\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}4]{4}}^\ldots} = 2,$$

que es el valor de $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n$ . En particular, tenemos el siguiente lema.

Lema. Sea $n$ sea un número entero positivo distinto de $1$ , $2$ y $4$ . Entonces el poder infinito remolca $$\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}^{{\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}}^\ldots}$$ es trascendental.

En particular, $$\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}3]{3}^{{\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}3]{3}}^\ldots}$$ es un número trascendental.

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Por último, doy la siguiente referencia interesante sobre las torres de energía infinitas:

Mladen V-M, Algunos resultados sobre torres de potencia infinitas, Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas (2010), 3 , 18-24.

Es de libre acceso en:

http://www.nntdm.net/papers/nntdm-16/NNTDM-16-3-18-24.pdf