prueba por contradicción $A ∩ (B - A)= \varnothing.$

Question

Utiliza el método de prueba por contradicción para demostrar que si A y B son conjuntos, entonces $$A (B - A)= \varnothing.$$

Dice que tengo que usar la contradicción, ¡pero la contradicción es con la que tengo un problema!

Answer 1

Para demostrar una afirmación por contradicción, se parte de la negación de lo que se quiere demostrar y se llega a la contradicción.

Así que para demostrar que $(P \land Q \land R) \rightarrow S$ , usted asume $P \land Q \land R$ junto con la negación de $S$ : $\lnot S$ y luego demostrar que esta suposición de $\lnot S$ contradice una o más de nuestras premisas: $P$ o $Q$ o $R$ o que contradiga cualquier otro hecho o axioma que sepamos que es cierto.

Así que en este problema, tomamos como dado que $A$ y $B$ son conjuntos, y suponemos la negación de $A ∩ (B – A)= ∅.$ Esto significaría que suponemos que $A \cap (B - A) \neq \varnothing$ .

Por tanto, supondremos que existe al menos una $x \in A \cap (A -B)$ . Y así se seguiría que $$\begin{align} x \in A\cap (A - B) & \iff x \in A\;\text{ and }\;x \in (B - A) \\ \\ &\iff x \in A \;\text{ and }\; (x\in B \land x\notin A) \\ \\ & \iff (x \in A \;\text{and}\; x\in B\;\text{and}\; x \notin A)\end{align}$$

¿Ves que hemos llegado a una contradicción?

Esto significa que nuestra hipótesis de que $A \cap (B - A) \neq \varnothing$ es FALSO, por lo que debe ser cierto que $A \cap (B - A) = \varnothing$ .

Answer 2

Empieza con esto.

"Supongamos que $A \cap (B - A) \ne \emptyset$ . Luego hay un elemento $x \in A \cap (B - A)$ . Esto implica que (1) $x \in A$ y (2) ..."

Luego sigue escribiendo hasta que consigas dos afirmaciones que parezcan contradecirse.

Answer 3

Supongamos por contradicción que existe un elemento $$x\in A\cap (B-A).$$ Tenga en cuenta que $$A\cap(B-A)=A\cap(B\cap A^c)=B\cap (A\cap A^c)$$ es decir $x\in B$ y $x\in \emptyset$ . ( $\Rightarrow \Leftarrow)$