Para una cadena de Markov irreducible, sea $P^r(x,y)>0$ y $P^l(y,x)>0$ , entonces si m= r+l sigue m ∈ T (x)∩T (y) entonces ¿cómo T (x) ⊂ T (y) - m se cumple?

Question

Lemma- Si una cadena de Markov es irreducible, entonces el periodo de todos los estados es igual, es decir. $gcd T (x) = gcd T (y)$ para todos $x, y X$

Prueba- Fijar dos estados x e y. Existen enteros no negativos r y l tales que que $P^r (x, y) > 0$ y $P^l (y, x) > 0$ . Dejar $m = r+l$ tenemos $m T (x)T (y)$ y $T (x) T (y) m$ de donde gcd $T (y)$ divide todos los elementos de $T (x)$ . Concluimos que gcd $T (y) gcd T (x)$ . Por un argumento totalmente paralelo, $gcd T (x) gcd T (y)$ .

En esta prueba se puede explicar cómo $T (x) T (y) m$ se deriva?

Answer 1

Sea $n \in T(x)$ de modo que $P^n(x,x) > 0$ . Entonces $$0 < P^l(y,x)P^n(x,x)P^r(x,y) \leq P^{l+n+r}(y,y)$$ muestra que $$m+n = l+n+r \in T(y).$$ Por lo tanto $n \in T(y) - m$ . Desde $n$ era un elemento arbitrario de $T(x)$ se deduce que $T(x) \subset T(y) - m$ .