Tienes razón, son equivalentes. Utilizando el axioma de elección (en particular, de elección dependiente), puedes demostrar que el axioma de regularidad se cumple si y sólo si no hay secuencias descendentes infinitas bajo la ∈ (puedo aportar una prueba si lo desea). Si la regularidad no se cumpliera para las clases, entonces tendríamos una secuencia de clases …x2∈x1∈x0 Sin embargo, según la definición de conjunto de Mendelson, todos menos x0 son conjuntos, por lo que tenemos la secuencia de conjuntos …x3∈x2∈x1 lo que significa que la regularidad no se cumple para los conjuntos. Por lo tanto, si todos los conjuntos están bien fundados, entonces todas las clases deben estar bien fundadas. Supongo que formuló el axioma de regularidad en términos de clases simplemente porque los axiomas pretenden establecer las propiedades de las clases y, en consecuencia, también de los conjuntos.
Edición: Mi afirmación original de que el axioma de regularidad para las clases es equivalente a la afirmación de que no hay secuencias descendentes infinitas, aunque cierta, no se sigue directamente del axioma de elección dependiente como yo pensaba, ya que la elección dependiente sólo se aplica a los conjuntos. Así pues, he aquí otro argumento. (Como ventaja, éste no requiere ningún axioma de elección).
Supongamos que todos los conjuntos están bien fundados y que C sea una clase no vacía. Sea x∈C . Si x∩C=∅ entonces C tiene fundamento. Si x∩C≠∅ entonces TC(x)∩C≠∅ donde TC(x) denota el cierre transitivo de x (el hecho de que el cierre transitivo de x existe y es un conjunto es cierto en NBG sin el axioma de regularidad, como puede verse en mi demostración aquí ). Dado que TC(x)∩C⊂TC(x) y TC(x) es un conjunto, también lo es TC(x)∩C . Por tanto, por suposición, existe y∈TC(x)∩C tal que y∩TC(x)∩C=∅ . Supongamos que z∈y∩C . Entonces, puesto que z∈y∈TC(x) y TC(x) es transitiva, z∈TC(x) para que z∈y∩TC(x)∩C una contradicción. Entonces, y∩C=∅ y por lo tanto, C tiene fundamento. Por lo tanto, todas las clases están bien fundadas si y sólo si todos los conjuntos están bien fundados.