La teoría de conjuntos NBG y el axioma de regularidad

Question

En el libro de E. Mendelson 'Introducción a la Lógica Matemática' desarrolla NBG teoría de conjuntos. Creo que es lo suficientemente conocida como para que no sea necesaria una descripción aquí. Aunque no estaría de más resumir los puntos principales:

• Los objetivos de NBG son clases y los conjuntos se definen como clases que son miembros de otra clase,
• NBG es un extensión conservadora de ZF,
• NBG y ZF son equiconsistente .

Sin embargo, cuando Mendelson formula el axioma de la regularidad, lo enuncia esencialmente como "Cada clase tiene fundamento". ¿Por qué no lo formula como "Cada configure está bien fundada"? Parecen (a menos que me equivoque) equivalentes en $\mathbf{NBG}+\mathbf{AC}$ pero no estoy seguro de lo contrario.

Answer 1

Tienes razón, son equivalentes. Utilizando el axioma de elección (en particular, de elección dependiente), puedes demostrar que el axioma de regularidad se cumple si y sólo si no hay secuencias descendentes infinitas bajo la $\in$ (puedo aportar una prueba si lo desea). Si la regularidad no se cumpliera para las clases, entonces tendríamos una secuencia de clases $$\ldots x_2\in x_1\in x_0$$ Sin embargo, según la definición de conjunto de Mendelson, todos menos $x_0$ son conjuntos, por lo que tenemos la secuencia de conjuntos $$\ldots x_3\in x_2\in x_1$$ lo que significa que la regularidad no se cumple para los conjuntos. Por lo tanto, si todos los conjuntos están bien fundados, entonces todas las clases deben estar bien fundadas. Supongo que formuló el axioma de regularidad en términos de clases simplemente porque los axiomas pretenden establecer las propiedades de las clases y, en consecuencia, también de los conjuntos.

Edición: Mi afirmación original de que el axioma de regularidad para las clases es equivalente a la afirmación de que no hay secuencias descendentes infinitas, aunque cierta, no se sigue directamente del axioma de elección dependiente como yo pensaba, ya que la elección dependiente sólo se aplica a los conjuntos. Así pues, he aquí otro argumento. (Como ventaja, éste no requiere ningún axioma de elección).

Supongamos que todos los conjuntos están bien fundados y que $C$ sea una clase no vacía. Sea $x\in C$ . Si $x\cap C=\emptyset$ entonces $C$ tiene fundamento. Si $x\cap C\neq\emptyset$ entonces $TC(x)\cap C\neq\emptyset$ donde $TC(x)$ denota el cierre transitivo de $x$ (el hecho de que el cierre transitivo de $x$ existe y es un conjunto es cierto en NBG sin el axioma de regularidad, como puede verse en mi demostración aquí ). Dado que $TC(x)\cap C\subset TC(x)$ y $TC(x)$ es un conjunto, también lo es $TC(x)\cap C$ . Por tanto, por suposición, existe $y\in TC(x)\cap C$ tal que $y\cap TC(x)\cap C=\emptyset$ . Supongamos que $z\in y\cap C$ . Entonces, puesto que $z\in y\in TC(x)$ y $TC(x)$ es transitiva, $z\in TC(x)$ para que $z\in y\cap TC(x)\cap C$ una contradicción. Entonces, $y\cap C=\emptyset$ y por lo tanto, $C$ tiene fundamento. Por lo tanto, todas las clases están bien fundadas si y sólo si todos los conjuntos están bien fundados.