En papel de origen de Wedderburn en el 74 es una excelente lectura sobre el tema de la cuasilicuidad. En particular, observó que para familias exponenciales regulares, las soluciones a las ecuaciones de verosimilitud se obtenían resolviendo una ecuación de puntuación general de la forma: $$ 0 = \sum_{i=1}^n \mathbf{S}(\beta, X_i, Y_i) = \mathbf{D}^{T} W \left( Y - g^{-1} (\mathbf{X}^T \beta)\right) $$ Dónde $\mathbf{D} = \frac{\partial}{\partial \beta} g^{-1} ( \mathbf{X}^T \beta)$ y $W = \mathbf{V}^{-1}$ . Esta notación tiene su origen en el trabajo de McCullogh y Nelder en el texto original, " Modelos lineales generalizados ". M&N describen la resolución de este tipo de funciones mediante el algoritmo de tipo Gauss Newton.
Curiosamente, sin embargo, esta formulación recordaba a un estimador del tipo método de los momentos, en el que uno podía simplemente "poner lo que quería estimar" en el lado derecho de la expresión entre paréntesis y confiar en que la expresión convergiera a "esa cosa interesante". Era una forma prototipo de estimar ecuaciones.
Las ecuaciones de estimación no eran un concepto nuevo. De hecho, ya en la década de 1870 y principios de 1900 se intentó presentar EEs correctamente derivando teoremas límite a partir de EEs utilizando expansiones de Taylor, pero la falta de conexión con un modelo probabilístico fue motivo de discordia entre los revisores críticos.
Wedderburn demostró algunos resultados muy importantes: que utilizando la primera visualización en un marco general en el que la ecuación de puntuación $S$ puede sustituirse por un cuasiscoro, que no corresponde a ningún modelo probabilístico, sino que responde a una pregunta de interés, arroja estimaciones estadísticamente convincentes. La transformación inversa de una puntuación general dio lugar a un qMLE general que procede de una verosimilitud que es correcto hasta una constante proporcional. Esa constante proporcional se denomina "dispersión". Un resultado útil de Wedderburn es que las grandes desviaciones de los supuestos probabilísticos pueden dar lugar a dispersiones grandes o pequeñas.
Sin embargo, a diferencia de la respuesta anterior, la cuasi probabilidad tiene se ha utilizado mucho. En McCullogh y Nelder se aborda la modelización de poblaciones de cangrejos herradura. A diferencia de los humanos, sus hábitos de apareamiento son simplemente extraños: muchos machos pueden acudir a una sola hembra en "grupos" no medidos. Desde el punto de vista ecologista, la observación real de estos grupos está muy lejos del alcance de su trabajo, pero, no obstante, llegar a predicciones sobre el tamaño de la población a partir de capturas y sueltas planteaba un reto importante. Resulta que este patrón de apareamiento da lugar a un modelo de Poisson con una importante infradispersión, es decir, la varianza es proporcional, pero no igual a la media.
Las dispersiones se consideran parámetros molestos en el sentido de que generalmente no basamos la inferencia en su valor, y su estimación conjunta en una única verosimilitud da lugar a verosimilitudes muy irregulares. La cuasilibertad es un área muy útil de la estadística, sobre todo a la luz de los trabajos posteriores sobre ecuaciones de estimación generalizadas .
