Determinar una localización de un cociente de un anillo de polinomios con interpretación geométrica

Question

Intento mostrar lo siguiente: El único punto de $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y^2,xy)$ con un gajo no reducido es el origen.

Los puntos en $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y^2,xy)$ son $(y),(x-a,y)$ para $a\in k$. La localización $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y^2,xy)_{(y)}=0$ es reducida. Pero no sé cómo determinar la localización en $(x-a,y)$.

¿Cómo puedo determinar a qué es isomorfa la localización $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y^2,xy)_{(x-a,y)}$? No estoy seguro en general de cómo determinar una localización.

Aquí hay un ejemplo usando interpretación geométrica: $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ es la unión de dos ejes en el plano. Localizar en $x$ significa desechar el lugar donde $x$ se anula, por lo que uno espera que $(\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy))_{(x)}\cong\operatorname{Spec}k[x]_x$. Utilizando este ejemplo, $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y^2,xy)$ es el eje $x$ y al localizar en $y$ se está eliminando el eje $x$, por lo que es $0$. Pero no estoy seguro de cómo tratar otros casos. Si escribo $k[x,y]/(y^2,xy))_{(x-a,y)}=\{ \frac{f(x)+ay}{g(x)+by}: g(a)\neq 0\} $, entonces ¿cómo puedo proceder para determinar esta localización?

Answer 1

Primero, hay dos tipos diferentes de localizaciones: podemos localizar en un elemento, lo que significa desechar el lugar de desaparición de ese elemento, o también podemos localizar en un ideal primo, lo que significa mirar "en una pequeña vecindad" de ese ideal primo. Son muy diferentes, y tu ejemplo en el último párrafo es del primer tipo (y tiene algunos problemas - quieres escribir $\operatorname{Spec} (k[x,y]/(xy))_x \cong \operatorname{Spec} k[x]_x$ pero parece que has cometido uno o dos errores tipográficos) mientras estás intentando calcular con el segundo tipo en tu problema.

Recordemos las definiciones de localización. Para un conjunto multiplicativamente cerrado $S$ de un anillo $A$, definimos la localización $S^{-1}A$ como el anillo de fracciones $\frac{a}{s}$ con $a\in A$ y $s\in S$ con la suma y resta habituales, donde dos fracciones $\frac{a}{s}$ y $\frac{a'}{s'}$ son iguales si hay algún $u\in S$ con $u(as'-a's)=0$. La localización en un elemento corresponde a fijar $S=\{1,f,f^2,\cdots\}$, donde la localización en un ideal primo $\mathfrak{p}$ corresponde a fijar $S=A\setminus\mathfrak{p}$.

Para resolver el problema, recuerda que la localización es exacta, por lo que conmuta con los cocientes: $$(k[x,y]/(y^2,xy))_{(x-a,y)} \cong k[x,y]_{(x-a,y)}/(y^2,xy)_{(x-a,y)}.$$ A continuación, nota que $a\neq 0$ es equivalente a $x\notin (x-a,y)$, entonces $x$ es invertible en esta localización si y solo si $a\neq 0$. Cuando $x$ es invertible, entonces $(y^2,xy)=(y)$, y el cociente es simplemente $k[x,y]_{(x-a,y)}/(y)_{(x-a,y)}\cong (k[x,y]/(y))_{(x-a,y)}\cong k[x]_{(x-a)}$ que claramente está reducido. Cuando $a=0$, $x$ no es invertible, y $y\neq 0$ pero $y^2=0$ lo que significa que el anillo $(k[x,y]/(y^2,xy))_{(x,y)}$ tiene nilpotentes y no está reducido.

Answer 2

Tenga en cuenta que $A$ puede tener otros ideales primos, si $k$ no es algebraicamente cerrado.
Sin embargo, después de notar que $A_x \cong k[x]_x$, el problema es simple.

Sea $\mathfrak{p}$ un ideal primo de $A$ y $S = A \setminus \mathfrak{p}.$ Deseamos demostrar que $A_{\mathfrak{p}} = S^{-1}A$ es no reducido si y solo si $\mathfrak{p} = (x, y).$

Ahora, sabemos que $A_x$ es un dominio integral. Por lo tanto, si $x \in S,$ entonces $S^{-1}A$ también es un dominio, al ser una localización adicional de $A_x.$ (Obviamente, $0 \notin S.$)

Por lo tanto, si $A_{\mathfrak{p}}$ es no reducido, entonces $x \in \mathfrak{p}.$ Además, dado que $y$ es nilpotente en $A,$ $y \in \mathfrak{p}$ también. Así, $(x, y) \subset \mathfrak{p}.$ La maximalidad de $(x, y)$ ahora fuerza $\mathfrak{p} = (x, y).$

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Ahora, puede demostrar que $A_{(x, y)}$ es efectivamente no reducido a mano o usar el hecho de que, dado que $A$ no es reducido, necesariamente uno de sus gérmenes debe ser no reducido.