Las funciones que son de su propia inversión.

Question

¿Cuáles son las funciones que son de su propia inversa?

(por lo tanto las funciones que $ f(f(x)) = x $ para un gran dominio)

Siempre pensé que sólo había 4:

$f(x) = x , f(x) = -x , f(x) = \frac {1}{x} $ y $ f(x) = \frac {-1}{x} $

Más tarde me enteré de una quinta

$$f(x) = \ln\left(\frac {e^x+1}{e^x-1}\right) $ $ ($x > 0$)

Esto me hizo preguntarme ¿hay más? ¿Cuáles son las condiciones que se aplican a todas estas funciones para obtener más, etc.

Answer 1

Estos son los llamados de involuciones.

Si usted no requiere continuidad, entonces el conjunto de involuciones $\Bbb R\a\Bbb R$ corresponde al conjunto de formas de dividir $\Bbb R$ en en la mayoría de los $2$-elemento de subconjuntos. Este tren de pensamiento de la siguiente manera de pensar en el ciclo de descomposición de una involución, considerada como una permutación de un conjunto infinito.

Este es inmensamente infinito, con $2^{\frak c}$-muchos elementos, donde ${\frak c}=|\Bbb R|$. De hecho, si damos por sentado el hecho de que cada conjunto infinito tiene una descomposición en $2$-conjuntos, o, equivalentemente, cada conjunto infinito tiene un punto fijo-libre de involución (que estoy seguro que sigue a partir de cierto nivel de elección), entonces un límite inferior para el número de involuciones sería el número de coinfinite subconjuntos de $\Bbb R$ elegido para ser el punto fijo conjuntos, y un límite inferior para el número de coinfinite subconjuntos es el número de subconjuntos de decir $\Bbb R\setminus[0,1]$ de los cuales hay $2^{\frak c}$. Un límite superior está dado por el número de funciones $\Bbb R\a\Bbb R$, que es también de $2^{\frak c}$ - ver aquí.

Si requieren de continuidad hay ${\frak c}=|\Bbb R|$-muchas continua de involuciones. Como un límite superior, hay $\frak c$ real continua de las funciones con valores - ver aquí. Como un límite inferior, $\log_a\left(\frac{a^x+1}{a^x-1}\right)$ es una clara continua involución por cada $a>0$, de los cuales hay $\frak c$-muchos.

A ver donde estas ideas se viene, se utilizan dos ideas: la conjugación de la teoría de grupo y lineal fraccional transformaciones de análisis complejo. Dado cualquier involución $\sigma$ y cualquier homeomorphism $f:\Bbb R\a\Bbb R$ (función continua con inversa continua) hay un conjugado de la función $f\circ\sigma\circ f^{-1}$, que es también una involución. Por supuesto, esto todavía es igual a $\sigma$ en general.

Lineal fraccional de transformación es un mapa de $[\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix}]z:=\frac{az+b}{cz+d}$. De esta forma se crea un grupo de acción del grupo de los invertible matrices. Es decir, si $A$ y $B$ son matrices, entonces $A(Bz)=(AB)z$ en esta notación, donde $AB$ es el producto de $A$ y $B$. Por lo general, tenemos a actuar en el plano complejo o de la esfera de Riemann (o la mitad superior del plano en la geometría hiperbólica), pero sin duda podemos considerar las matrices con coeficientes reales que actúan sobre la recta numérica real $\Bbb R$. Tenga en cuenta que escalar múltiplos de la matriz de identidad actuar como la función identidad.

Nota $[\begin{smallmatrix}1&1\\1&-1\end{smallmatrix}]^2$ es proporcional a la matriz identidad, y la conjugación de los correspondientes lineal fraccional de transformación $\frac{u+1}{u-1}$ $a^x$ rendimientos de la mencionada familia de ejemplos. Técnicamente $a^x$ es un homeomorphism $\Bbb R\a(0,\infty)$, pero esto está muy bien, ya que $\frac{u+1}{u-1}$ está bien definido en $(0,\infty)$.

Answer 2

De hecho, hay muchos de involuciones. Pero si quieres una involución que es función racional y es involutory en un subconjunto denso de $\mathbb R$, entonces termina con Möbius transforma $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ donde $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^2=1$ (y el dominio de $f$ es $\mathbb R\setminus\{-\frac dc\}$). Sus cuatro primeros ejemplos corresponden a las matrices $$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$ Su quinto ejemplo es en realidad una transformación de Möbius transformar $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ obtenidos a partir de la matriz $-\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$. Por supuesto, siempre que $f\colon D\D$ es una involución y $g\colon D'\D$ un bijection, entonces $g'^{-1}\circ f\circ g\colon D'\D'$ es también una involución. (En este caso especial, tenemos que comprobar que $x\mapsto \frac{x+1}{x-1}$ mapas de $(1,\infty)\a(1,\infty)$)

Answer 3

¿Por qué crees que esas son las únicas funciones? Si consideramos funciones discretas en lugar de sólo explícitos, de manera algebraica definida, funciones, es fácil de llegar con ejemplos (obviamente tenemos que asegurarnos de que nuestras funciones son bijective, pero esto tiene más que ver con la definición adecuada de dominio y el rango de conjuntos). El ejemplo más simple es una función que asigna a partir de un singleton establecido en el mismo singleton conjunto (lo que significa que $f(x) = x$ es la única función posible de todos modos). Es trivial para venir para arriba con ejemplos de funciones que son de su propia inversa con conjuntos de tamaño de dos (y que no tiene que tener la forma $f(x) = x$--que sin duda siempre satisface esta propiedad). Por ejemplo:

$$ \{a_1, a_2\}\mapsto \{a_1, a_2\}: f(x) = \begin{casos} a_2 & x = a_1 \\ a_1 & x = a_2 \end{casos} $$

O podemos hacer un conjunto con tres elementos:

$$ \{a_1, a_2, a_3\}\mapsto \{a_1, a_2, a_3\}: f(x) = \begin{casos} a_2 & x = a_1 \\ a_1 & x = a_2 \\ a_3 & x = a_3 \end{casos} $$

...o cuatro:

$$ \{a_1, a_2, a_3, a_4\}\mapsto \{a_1, a_2, a_3, a_4\}: f(x) = \begin{casos} a_3 & x = a_1 \\ a_4 & x = a_2 \\ a_1 & x = a_3 \\ a_2 & x = a_4 \end{casos} $$

...etc. Ahora puede ser "difícil" llegar con funciones definidas a través algebraicas las operaciones que satisfacen esta condición a más de un dominio continuo (como $\mathbb{R}$), pero no veo por qué uno podría asumir que hay un número finito de ellos a priori.

Y David Quinn y Maciek criar a un buen punto, que es que cualquier función que es simétrica alrededor de la línea de $ $ y = x$ es una función inversa de sí mismo. Sólo porque usted no puede ser capaz de "escribir", de manera algebraica, una función de este tipo no significa que uno no existe. He aquí un ejemplo de la gráfica de una función que es su propia inversa:

Y usted puede crear todo tipo de diferentes tales funciones por sólo dibujar algunos curva (debe pasar la prueba de la línea horizontal) y la refleja por la línea $y = x$ (que es como yo generado el ejemplo de arriba).

Answer 4

Cualquier rectangular hipérbolas de la forma $$f(x)=\frac{ax+b}{x}$$ se auto-inversa, ya que son reflejos de sí mismos en la línea de $ $ y=x$.

Answer 5

Para soluciones algebraicas, tomar $f(x,y) = 0$ para cualquier no constante polinomio simétrico (en un dominio adecuado). Por supuesto, si el grado en $x$ o $y$ es mayor que $5$, esto no puede ser resolubles por radicales.

Por ejemplo, $f(x,y) = x^3 + x y + y^3 - 1$. Este puede ser resuelto por radicales: $ $ $ y = \dfrac{\sqrt [3]{108-108\,{x}^{3}+12\,\sqrt {81\,{x}^{6}-150\,{x}^{3}+81 }}}{6}-{\frac {2x}{\sqrt [3]{108-108\,{x}^{3}+12\,\sqrt {81\,{x}^{6}-150 \,{x}^{3}+81}}}} $$