Para demostrar que $E'$ está cerrado, demostraremos $X\setminus E'$ está abierto. Si $x \in X\setminus E'$ entonces hay $B(x,r) \subseteq X\setminus E$ . Entonces para todos $y \in B(x,r)$ desde $B(x,r)$ está abierto hay $B(y,r_2)\subseteq B(x,r)\subseteq X \setminus E$ así que $y \in X \setminus E'$ también. De ello se deduce que $x$ es un punto interior de $X\setminus E'$ y así $X\setminus E'$ está abierto, y $E'$ está cerrado.
Ahora mostramos $E$ y $\overline{E}$ tienen los mismos puntos límite. Es evidente que $E' \subseteq \overline{E}'$ ya que si cada $B(x,r)$ contiene un elemento de $E$ diferente de $x$ entonces ese elemento es también un elemento de $\overline{E}$ . A la inversa, supongamos $B(x,r)$ contiene un elemento $y$ de $\overline{E}$ . Desde $B(x,r)$ es abierto, podemos elegir $B(y,r_2)\subseteq B(x,r)$ y haciendo $r_2<d(x,y)$ más pequeños si es necesario podemos garantizar $x\notin B(y,r_2)$ . Entonces, como $y \in \overline{E}$ podemos elegir $z \in E \cap (B(y,r_2)\setminus\{y\})$ . Entonces $z \in E \cap (B(x,r) \setminus \{x\})$ lo que completa la prueba.
