Expectativa de variable truncada y aleatoria

Question

Tengo una pregunta que parece relativamente sencilla, pero me cuesta entender cómo responderla.

La cuestión general es la siguiente:

¿Cuál es el valor esperado de $S_{I}$ , donde:

$S_{I} = S$ si $S <3000$

$S_{I} = 3000$ si $S >3000$

donde $S$ es una distribución compuesta (los detalles no son necesarios para mi problema aquí)

Mi intento inicial es el siguiente:

$E[S_{I}] = E[E[S_{I}|S]] = E[S * P(S\leq3000) + 3000*P(S>3000)] = E[S]*P(S\leq 3000)+3000*P(S>3000).$

Ahora, a partir de la definición de $S_{I}$ está claro que deberíamos tener $E[S_{I}]<3000$ . Para este problema concreto $E[S] = 4000$ y, por tanto, el método que propongo para resolverlo es erróneo.

Así que pensé que mi $E[S]$ en la línea anterior debería ser $E[S|S\leq 3000]$

¿Es correcta esta suposición?

Si es así, ¿es cierto que $E[S|S\leq 3000] = E[S]*P(S\leq 3000)$ ??

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Suponiendo que todas las expectativas estén definidas, por el ley de la expectativa total , $$E[S]=E(S\,|\,S\leq 3000)\,P(S\leq 3000) + E(S\,|\,S > 3000)\,P(S> 3000)\,,$$ y de ella $$E[S_I]=E(S\,|\,S\leq 3000)\,P(S\leq 3000) + 3000\,P(S> 3000)\,,$$ como usted dijo. Pero no es cierto en general que $E(S\,|\,S\leq 3000)=E(S)\,P(S\leq 3000)$ . Para ver por qué, imagine un $S$ que toma el valor 0 o el valor 4000 cada uno con probabilidad 1/2. Entonces $E(S)P(S\leq 3000)=2000\cdot1/2$ y $E(S\,|\,S\leq 3000)=0$ .