Dadas algunas de las raíces de la función $f(x) = x^3+bx^2+cx+d$ ¿cómo encuentro los coeficientes de esa función?

Question

Dos de las raíces de $f(x) = x^3+bx^2+cx+d$ son $3$ y $2+i$ . ¿Cómo encuentro b+c+d? Las opciones de respuesta son -7, -5, 6, 9 y 25.

Answer 1

Un polinomio cúbico tendrá tres raíces. Nos dieron las tres raíces, ya que $f(2+i)=0 \space \implies \space f(2-i)=0$ . Ahora podemos factorizar la cúbica y escribir $$x^3+bx^2+cx+d = (x-3)(x-(2+i))(x-(2-i))$$ Una vez que amplíe el RHS puede encontrar fácilmente $b,c,d$ .

Answer 2

X^3+bx^2+cx+d = 0 tiene 3 soluciones 3 y 2+i están dadas. la tercera solución z no lo está.

este polinomio puede descomponerse como (x-3)(x-2-i)(x-z)=0 de aquí se sigue 1. 3*(2+i)*z = -d 2. 3z + 3(2+i) + z(2+i) = c 3. 3 + 2+i + z = -b

t b = -5 - i - z; c = 6 + 3 i + 5 z + i z, d = -3 z(2 + i) para que b sea real z = y-i para que d sea real y = 2;

por lo que b = -7; c = 17; d = -15;