Demuestre que $\prod_{i=1}^n a_i- \prod_{j=1}^n b_i =$ $\sum_{t=1}^{n-1}(\prod_{i\leq t-1}a_i)(\prod_{j\geq t+1} b_j)(a_t-b_t)$

Question

Perdón por la notación críptica y la pregunta posiblemente trivial. Creo que se cumple lo siguiente.

Defina $$X_t=(\prod_{i\leq t-1}a_i)(\prod_{j\geq t+1} b_j)(a_t-b_t).$$ Demuestre que $$\prod_{i=1}^na_i-\prod_{j=1}^nb_i=\sum_{t=1}^{n-1}X_t.$$

¿Hay alguna forma rápida y elegante de ver esto? Es sencillo por inducción y creo que también por multilinealidad de determinantes y posiblemente incluso por inclusión-exclusión. Además, también debería ser posible a partir de la expansión $(a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_{n-1}-b_{n-1})(a_n+(-1)^nb_n)$ .

Answer 1

Supongamos en primer lugar que $b_t=1$ para cada $t$ e introducir $A_t=\prod\limits_{i=1}^ta_i$ en particular $A_0=1$ y $A_t=a_tA_{t-1}$ para cada $1\leqslant t\leqslant n$ . Así, la fórmula $X_t=A_{t-1}\cdot(a_t-1)=A_t-A_{t-1}$ produce el serie telescópica $\sum\limits_{t=1}^nX_t=A_n-A_0=A_n-1$ . Esta es la expresión a demostrar, excepto que la suma debe extenderse hasta $t=n$ .

En el caso general, introduzca $A_t=\prod\limits_{i=1}^ta_i\cdot\prod\limits_{j=t+1}^nb_j$ en particular $A_0=\prod\limits_{t=1}^nb_t$ , $A_n=\prod\limits_{t=1}^na_t$ y $A_t=c_t\cdot A_{t-1}$ con $c_t=a_t/b_t$ . Así, la fórmula $X_t=A_{t-1}\cdot(c_t-1)=A_t-A_{t-1}$ produce el serie telescópica $\sum\limits_{t=1}^nX_t=A_n-A_0=\prod\limits_{t=1}^na_t-\prod\limits_{t=1}^nb_t$ . Esta es la expresión a demostrar, excepto que la suma debe extenderse hasta $t=n$ .