¿Cuál es la interpretación de la magnitud de una matriz?

Question

Consideremos un vector $v$ .

La magnitud de este vector (si describe una posición en el espacio euclidiano) es igual a la distancia al origen:

$$(v^Tv)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(v^Tv)}$$

es decir, la raíz cuadrada del producto punto.

Supongamos que calculamos este valor no sólo para un vector, sino para una matriz M, que describe un operador que transporta un vector de posición.

¿Cuál es la interpretación de la magnitud?

Answer 1

Para un vector $v\in\mathbb{R}^n$ , $\sqrt{v^Tv}$ no es más que la norma euclidiana $\|v\|_2$ . Existen infinitas normas diferentes para los vectores y cualquiera de ellas da lugar a una medida legítima de "magnitud".

Lo mismo ocurre con las matrices. Se pueden medir las "magnitudes" de las matrices utilizando normas matriciales . Si apilas las columnas de un $n\times n$ matriz $A$ sucesivamente con la primera columna en la parte superior, se obtiene un vector largo $v$ en $\mathbb{R}^{n^2}$ . La norma euclidiana de este vector (es decir. $\|v\|_2$ ) se denomina Norma de Frobenius de la matriz y se denota por $\|A\|_F$ . También existen otros tipos de normas matriciales.