Solución integral de una ecuación diferencial (verificación)

Question

Tengo que comprobar que la integral $$y(x) = \int_0^\infty \exp\left(-t - \frac{x}{\sqrt{t}}\right) dt$$ satisface la EDO $$xy''' + 2y = 0$$ ( $x > 0$ ). Diferenciando bajo el signo integral tres veces se obtiene $$y''' = \int_0^\infty \frac{1}{t \sqrt{t}}\exp\left(-t - \frac{x}{\sqrt{t}}\right)$$ En esta forma no es obvio que esto satisfaga la ecuación anterior. Supongo que tengo que utilizar la integración por partes para simplificar la integral anterior, pero no puedo ver cómo funciona. Si dejo que $u = \exp(-t - \frac{x}{\sqrt{t}})$ y $v' = \frac{1}{t \sqrt{t}}$ entonces $v = \frac{-2}{\sqrt{t}}$ y $u' = \left(-1 + \frac{x}{2t\sqrt{t}}\right)\exp(-t - \frac{x}{\sqrt{t}})$ y lo anterior se convierte en $$y''' = \int_0^\infty \frac{-2}{\sqrt{t}} \left(-1 + \frac{x}{2t\sqrt{t}}\right)\exp\left(-t - \frac{x}{\sqrt{t}}\right) \, dt$$ y esto no parece funcionar.

¿Alguien puede ayudarme? Espero no estar cometiendo un error con la diferenciación/integración.

Answer 1

Tenemos que $$y'(x) = - \int_0^\infty {\frac{1}{{\sqrt t }}\exp } \left( { - t - \frac{x}{{\sqrt t }}} \right)dt$$

y luego $$y'''(x) = -\int_0^\infty {\frac{1}{t\sqrt t}\exp } \left( { - t - \frac{x}{{\sqrt t }}} \right)dt$$

Ahora bien, obsérvese que entonces tenemos $$xy''' + 2y = \int_0^\infty {\left( {2 - \frac{x}{{t\sqrt t }}} \right)\exp \left( { - t - \frac{x}{{\sqrt t }}} \right)dt} $$

Ahora, escribe esto como $$xy''' + 2y = - 2\int_0^\infty {\left( {-1 + \frac{x}{{2t\sqrt t }}} \right)\exp \left( { - t - \frac{x}{{\sqrt t }}} \right)dt} $$ y observe que $$\frac{d}{{dt}}\left( { - t - \frac{x}{{\sqrt t }}} \right) = - 1 + \frac{x}{2{t\sqrt t }}$$

¿Puede continuar? Tenga en cuenta que los límites de integración deben colapsarse ya que $$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \left( { - t - \frac{x}{{\sqrt t }}} \right) = - \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - t - \frac{x}{{\sqrt t }}} \right) = - \infty \cr} $$

AÑADE Si quieres que esto quede un poco más claro, divídelo en el punto donde la función es cero, es decir $$\int_0^{{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^{2/3}}} {\left( { - 1 + \frac{x}{{2t\sqrt t }}} \right)\exp \left( { - t - \frac{x}{{\sqrt t }}} \right)dt} + \int_{{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^{2/3}}}^\infty {\left( { - 1 + \frac{x}{{2t\sqrt t }}} \right)\exp \left( { - t - \frac{x}{{\sqrt t }}} \right)dt} $$

Entonces tenemos bajo la misma sustitución esto es $$\int_{ - \infty }^0 {\exp udu} + \int_0^{ - \infty } {\exp udu} = 0$$