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"Teorema Central del límite" para la suma ponderada de variables aleatorias correlacionadas

Estoy leyendo un papel que dice que los

$$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$$ (es decir, la transformada de Fourier Discreta, DFT) por el C. L. T. tiende a un (complejo) de la variable aleatoria gaussiana. Sin embargo, sé que esto no es cierto en general. Después de leer esto (falaz) argumento, he buscado por la red y encontré este documento de 2010, por Peligrad & Wu, donde demuestran que para algunos procesos estacionarios, uno puede encontrar un "C. L. T. teorema".

Mi pregunta es: ¿tienen otras referencias que intentan abordar el problema de encontrar la limitación de la distribución de la DFT de una determinada indexado secuencia (tanto por la simulación o la teoría)? Estoy particularmente interesado en la tasa de convergencia (es decir, de la rapidez con la DFT converge) dado un poco de estructura de covarianza para $X_j$ en el contexto del análisis de series temporales, o derivaciones/aplicaciones para series no estacionarias.

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mat_geek Puntos 1367

En David Brillinger "Datos de Series de Tiempo y Análisis de la Teoría de la" 1975 Holt, Rinehart and Winston Editores de la página 94 Theroem 4.4.1 estados bajo ciertas condiciones de la transformada de fourier discreta para un vector r con valores de la serie en las frecuencias λ$_j$(N) son asintóticamente independiente de r dimensiones complejas normal varia con la media del vector 0 donde λ$_j$(N)=2π s$_j$(N)/N. Esto pasa a ser un muy importante teorema en el desarrollo de estimaciones de la densidad espectral de la serie de tiempo estacionaria.

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