Denotemos el conjunto de $n\times n$ matrices con entradas reales por $\mathbf{R}^{n \times n}$ . Dados dos $n \times n$ matrices $A = ((a_{ij}))$ y $B = ((b_{ij}))$ su producto punto se define como la suma de los productos de las entradas correspondientes: $A \cdot B = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}.$ Consideremos la función determinante $\Delta: \mathbb{R}^{n\times n} \rightarrow \mathbb{R} $ . Demuestre que para una matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ la derivada de esta función en $A$ viene dado por $D_{A}\Delta(V) = A^{\ast}\cdot V$ donde $A^{\ast}$ es la matriz de cofactores: el $(i,j)$ entrada de $A^{\ast}$ es el $(i,j)$ cofactor de $A$ .
En primer lugar, esta es la primera de las dos partes de mi problema de HOMEWORK. La segunda parte de este problema consistía en demostrar que la derivada del determinante en la matriz identidad es la traza de $V$ . Pude hacer ese problema porque el álgebra no es tan complicada cuando uso la definición de derivada direccional. Pero no puedo conseguir esa fórmula para el problema que he preguntado, tiene que haber algún truco ingenioso. ¿Alguien me puede ayudar con el primer paso?
