¿Existe un subconjunto denso $\ X\ $ de $\ \mathbb{R}\ $ y un número real $\ a\neq 0\ $ tal que $\{\ x+a:\ x\in X\ \} =\mathbb{R}\setminus X\ ?$

Question

¿Existe un subconjunto denso $\ X\ $ de $\ \mathbb{R},\ $ y un número real $\ a\neq 0\ $ tal que $\ \{\ x+a:\ x\in X\ \} = \mathbb{R}\setminus X\ ?$

Es evidente que nuestro conjunto $\ X\ $ debe ser totalmente desconectado e incontable en cada intervalo para que $\ X\ $ de existir.

Pero en realidad no estoy seguro de la respuesta a esta pregunta, y me resulta difícil dar siquiera un argumento heurístico de por qué la respuesta debería ser negativa o afirmativa. ¿Tal vez tenga algo que ver con el Teorema de la Categoría de Baire?

Answer 1

$$X=\{ x \in \mathbb R : \lfloor x\rfloor\text{ is odd}\}\mathbin{\triangle} \mathbb Q = \bigcup_{n\in\mathbb Z}\,\Bigl([2n,2n+1)\cap\mathbb Q\Bigr) \cup \Bigl([2n+1,2n+2) \setminus \mathbb Q\Bigr) $$

Esto funciona para $a=1$ . Escálelo según su $a$ si quieres uno diferente.

(Este $X$ es contable en cualquier otro intervalo unitario, por cierto).