¿Existe una forma más rápida de demostrar una $V$ es un espacio vectorial, ¿evitando axiomas?

Question

Estoy haciendo un ejercicio en el que se me pide que, dado un espacio Vector $V$ definida por suma complicada y multiplicación escalar, demuestre que es cerrada bajo $\oplus$ y $\odot$ y demostrar que todos los axiomas se cumplen.

Me preguntaba, cada vez que te piden que demuestres si es un Espacio Vectorial, ¿tienes que pasar por todos los axiomas? ¿Hay una manera más corta de demostrar $V$ ser un espacio vectorial?

como se ha sugerido, la pregunta en la que estoy trabajando actualmente es:

Sea $V$ = $R^2$ con $\oplus$ definido por:

$\bigl( \begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix} \bigr)$ $\oplus$ $\bigl( \begin{smallmatrix} w \\ z \end{smallmatrix} \bigr)$ = $\bigl( \begin{smallmatrix} x + w - 1\\ y + z + 4 \end{smallmatrix} \bigr)$

y $\odot$ definido por:

$\bigl( \begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix} \bigr)$ = $\bigl( \begin{smallmatrix} x - + 1\\ y + 4 - 4 \end{smallmatrix} \bigr)$

Demuestre que $V$ es un espacio vectorial

Answer 1

En nuestro caso concreto, una forma fácil es crear una biyección a partir de este dado $V$ a la habitual $\mathbb R^2$ . En particular, consideremos el mapa $\varphi:\mathbb R^2\to V$ dada por $(x,y)\mapsto (x+1,y-4)$ . Esto es, por supuesto, una biyección, pero también se puede verificar que $$\begin{cases}\alpha\odot\varphi(x)=\varphi(\alpha x),\\\varphi(x+y)=\varphi(x)\oplus\varphi(y).\end{cases}$$ Esto significa que el mapa $\varphi$ "traslada" la estructura del espacio vectorial de $\mathbb R^2$ en $V$ de modo que $V$ también es un espacio vectorial. De hecho, tenemos aún más: hemos demostrado que existe un isomorfismo de espacios vectoriales entre $V$ y $\mathbb R^2$ .