Planos en álgebra lineal

Question

Tengo una pregunta, digamos que tengo dos vectores linealmente independientes, entonces ¿habría sólo un plano en R3 que contenga estos dos vectores?

Answer 1

Depende de lo que entienda por "avión". Si se refiere a un "subespacio bidimensional", entonces sí, por definición. (Si te interesa saber qué ocurre cuando generalizas a hiperplanos y, por tanto, a cualquier subespacio propio, entonces depende:

1. En $\mathbb{R}^2$ el resultado es no.

2. En $\mathbb{R}^3$ la respuesta es sí.

3. En $\mathbb{R}^4$ y superior, la respuesta es no.

Prueba de 1 : Llamada a los vectores $v, w$ tenemos $\mathbb{R}^2 = span(v,w)$ por lo que ningún subespacio propio contiene los vectores.

Esquema de la prueba de 2 : Sean dos subespacios propios que contengan $v, w$ y demostrar que son iguales. Esto no es difícil de hacer, avísame si necesitas consejo para llevar a cabo la prueba. Empieza señalando que el subespacio tiene que ser de dimensión 2 para ser propio y contener $v,w$ .

Esquema de la prueba del 3 : Hay infinitos vectores $z$ tal que $\{v,w,z\}$ es linealmente independiente, y éste es un subespacio propio en todos los casos).

Pero, para reiterar : Como "plano" significa para ti un subespacio bidimensional, entonces sólo hay un "plano" que contenga un conjunto dado de 2 vectores linealmente independientes, y esto es así porque el plano que contiene 2 vectores linealmente independientes se definiría en este caso como su span, es decir, el conjunto de todas sus combinaciones lineales, que es único.