$x^3+7=y^2$ encontrar soluciones naturales

Question

$x^3+7=y^2$ encontrar todas las soluciones en números naturales

He intentado comprobar un residuo de la división en $3,4,5,7,9,12,13$

Quiero demostrar que esta ecuación no tiene solución porque la parte izquierda da unos residuos y la parte derecha otros. En realidad no sé si es cierto. ¿Estoy en el camino correcto para resolver este problema? Pero he probado esto para $x^3+7=y^4$ comprobando los residuos al dividir en $13$ Si estoy en el camino correcto, ¿puede decir la división de lo que tengo que comprobar, para obtener el resultado? Si no me dicen por favor qué hacer.

Answer 1

$y^2 = x^3 + k$ se conoce como ecuación de Mordell.

Tienes razón en que no hay soluciones enteras. Sin embargo, creo que una comprobación ingenua del residuo módulo no da como resultado

He aquí una sugerencia, que requiere que rellenes algunos huecos

1. Supongamos que existe una solución integral. Demuestre que $x$ es impar.
2. Escriba a $ y^2 + 1 = x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4 )$
3. Por lo tanto, existe un primo $p$ tal que $ p \equiv 3 \pmod{4}$ y $ y^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p}$ lo cual es una contradicción.

Nota: Hay 2 maneras de hacer 3, basado en lo que está escrito (y algunas lagunas).