Tengo dos superficies lisas $M_1$ y $M_2$ Estoy tratando de entender cómo la suma conectada $M_1 \mathop{\#} M_2$ es una superficie lisa. Voy a escribir mi comprensión de la prueba y luego explicar dónde estoy confundido.
Así que para demostrar que algo es una superficie lisa hay que demostrar que es localmente homeomorfa a un disco en $\mathbb{R}^2$ y los mapas de transición en los solapamientos son funciones suaves $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ . Por tanto, hay que considerar algunos casos. Si tomamos un punto en el interior de una de las superficies, digamos $M_1$ entonces podemos disponer que la vecindad se encuentre completamente dentro de esa superficie y utilizamos el hecho de que $M_1$ es una superficie para obtener un homeomorfismo. Si tenemos un punto en la frontera de $M_1$ donde se une a $M_2$ entonces tenemos una vecindad en $M_1$ y un barrio en $M_2$ y podemos encoger estas vecindades de modo que cada una contenga todos los puntos de la frontera intersectados con la otra vecindad y luego mapear estas semivecindades en un disco abierto completo.
Mi problema es: entiendo que una superficie, $S$ es una colección de homeomorfismos $f_\alpha : U_\alpha \to V_\alpha$ . En $V_\alpha$ son discos abiertos en $\mathbb{R}^2$ y la unión de los $U_\alpha$ cubrir la superficie. Entonces, dada una superficie como ésta, ¿cómo podemos organizarla de modo que podamos reducir nuestros barrios como he descrito anteriormente? Es decir, ¿quién puede decir que, tras eliminar un disco de una superficie, la parte eliminada se cruza con uno de los discos de la superficie? $U_\alpha$ ¿podemos encoger nuestro vecindario para que quede completamente dentro de nuestra superficie? Esto me está causando dificultades a la hora de mostrar que los mapas de transición son suaves.
Comprendo que muchas de estas ideas son obvias, pero me cuesta juzgar el nivel de rigor que exigen argumentos de este tipo.
Gracias
