¿Se aplica la conjetura de Bunyakovsky a todos los polinomios ciclotómicos?

Question

La conjetura de Bunyakovsky afirma que para todo polinomio irreducible $\ f\in \mathbb Z[x]\ $ con coeficiente inicial positivo, hay infinitos números primos de la forma $\ f(m)\ $ donde $\ m\ $ es un número entero positivo , si $\ \gcd(f(1),f(2),f(3),\cdots)=1\ $

Los polinomios ciclotómicos son bien conocidos por ser irreducibles y el coeficiente principal es $\ 1\ $ .

Pero ¿qué pasa con la condición $\ \gcd(f(1),f(2),f(3),\cdots)=1\ $ ? ¿Es válido para todos los polinomios ciclotómicos? En caso afirmativo, ¿cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

Sea $n\geq2$ sea un número entero positivo y $\Phi_n$ denotan el $n$ -enésimo polinomio ciclotómico. Entonces $$\Phi_n(1)=\begin{cases}p&\text{ if }n=p^k\\1&\text{ otherwise}\end{cases},$$ donde en el primer caso $p$ es un número primo y $k$ es un número entero positivo, es decir $n$ es una primera potencia. Para una demostración, véase esta pregunta . Se deduce inmediatamente que si $n$ no es una potencia prima, entonces $$\gcd(f(1),f(2),f(3),\ldots)=1.$$ Por último, si $n=p^k$ entonces $\Phi_n(p)\equiv1\pmod{p}$ y así $\gcd(\Phi_n(1),\Phi_n(p))=1$ .

Answer 2

En $\gcd(f(1),f(2),f(3),\dots)$ es igual a $\gcd$ de valores de $f$ en cualquier $\deg f + 1$ enteros. Este es un resultado de K. Hensel (véase por ejemplo Estudio sobre divisores fijos Teorema 2.1). Esto nos dice que podemos mirar $f$ también en $0$ (o negativos), que en el caso de los polinomios ciclotómicos son muy sencillos. De hecho, la fórmula de inversión de Möbius $\Phi_n(x) = \prod_{d|n} (x^d-1)^{\mu(n/d)}$ implica $|\Phi_n(0)|=1$ para $n \geq 1$ y el resultado es el siguiente.