Al resolver la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo para el pozo cuadrado infinito en 2 o 3 dimensiones (utilizaré 2 dimensiones por brevedad), utilizamos la separación de variables, suponiendo primero que nuestra solución es de la forma $\psi(x,y)=f(x)g(y)$ y llegamos al punto en que tenemos que $$\frac{1}{f}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{1}{g}\frac{\partial^2g}{\partial y^2}=\frac{-2m}{\hbar}E$$ Mis problemas empiezan en este punto. Es evidente que los dos términos del lado izquierdo de la ecuación anterior deben ser iguales a una constante. Por tanto, tenemos que $$\frac{1}{f}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=C_x \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{g}\frac{\partial^2g}{\partial y^2}=C_y$$ Pero nunca es así como se resuelve realmente el problema. En su lugar, siempre se asume que en realidad tenemos $$\frac{1}{f}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=-k^2_x \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{g}\frac{\partial^2g}{\partial y^2}=-k^2_y$$ Mi problema es que esto no permite ninguno de los términos de la forma $\frac{1}{f}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$ sea igual a una constante positiva. Sin embargo, que una de ellas sea igual a una constante positiva debería seguir siendo una posibilidad válida. Soy consciente de que en este ejemplo, $E>0$ porque $E$ debe ser siempre mayor que el valor del potencial dentro del pozo. Pero incluso si suponemos que $E>0$ todavía podemos tener $C_x$ o $C_y$ siendo positivo porque la suma de un $C_x$ y negativo $C_y$ puede seguir siendo globalmente negativa siempre que $C_x<-C_y$ . Así, las constantes de mi segunda ecuación deberían poder ser tanto positivas como negativas y seguir satisfaciendo la ecuación de Schrodinger. Me parece que suponiendo que ambos términos $\frac{1}{f}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$ y $\frac{1}{f}\frac{\partial^2g}{\partial y^2}$ sea igual a negativo deberíamos perder muchas soluciones válidas de la ecuación de schrodinger (todos los casos en los que $ C_x<-C_y $ por ejemplo).
Agradecería cualquier ayuda al respecto.
