Reclamar la colección $\left\{\mathcal{E}(aL)_{T}\right\}$ ( $T$ tiempo de parada) es uniformemente integrable en la prueba de la Condición de Novikov

Question

Aquí tengo una pregunta en la prueba de la condición de Novikov del Libro de Le Gall Movimiento Browniano y Cálculo Estocástico Página 137:

La prueba es muy larga, y sólo tengo problema en la parte siguiente:

Ahora tenemos lo siguiente :

Para el matingale local continuo $L_{0}=0$ , $0<a<1$ , $\mathcal{E}(aL)=\exp\left(aL_{t}-a^{2}\frac{1}{2}\left\langle L,L\right\rangle_{t}\right)$

Hemos sabido que es una martingala local continua, Por la fórmula de Ito. Mi objetivo es demostrar $\mathcal{E}(aL)_{T}$ donde $T$ es el tiempo de parada, es uniformemente integrable. Una desigualdad importante en la prueba es:

$$E\left[1_{\Gamma}\mathcal{E}(aL)_{T}\right]\leqslant E\left[1_{\Gamma}\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)\right]^{2a(1-a)}$$ Para $\Gamma:=\left\{\mathcal{E}(aL)_{T}>x,x>0\right\}$

He sabido que $\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)$ es uniformemente integrable, entonces ¿cómo puedo deducir que $\mathcal{E}(aL)_{T}$ ¿es también uniformemente integrable? (El libro de Le Gall ha omitido esta parte).

Answer 1

Sea $E_R:=\left\{ \exp \left(L_T/2\right) \gt R\right\}$ donde $R$ es fijo. Entonces $$ \mathbb E\left[1_{\Gamma}\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)\right]= \mathbb E\left[1_{\Gamma}1_{E_R}\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)\right] +\mathbb E\left[1_{\Gamma}1_{E_R^c}\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)\right]\\ \leqslant \mathbb E\left[1_{E_R}\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)\right] +R\mathbb P\left(\Gamma\right). $$ Fijemos $\varepsilon\gt 0$ . Dado que la familia $\left\{\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right), T\mbox{ is a stopping time}\right\}$ es uniformemente integrable, podemos elegir $R_\varepsilon$ tal que $\mathbb E\left[1_{E_R}\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)\right]\lt \varepsilon$ . Además, tenemos $$ \mathbb E\left[ \mathcal{E}(aL)_{T}\right]\leqslant \mathbb E\left[\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)\right]^{2a(1-a)} $$ dejando $x$ yendo a $0$ de ahí $S:=\sup_T\mathbb E\left[ \mathcal{E}(aL)_{T}\right]$ es finito. En particular, por la desigualdad de Markov, $P\left(\Gamma\right)\leqslant S/x$ .

Así pues, tenemos $$ \sup_T\mathbb E\left[1_{\Gamma}\mathcal{E}(aL)_{T}\right]\leqslant \varepsilon^{2a(1-a)}+\left(\frac{R_\varepsilon S}x\right)^{2a(1-a)} $$ de ahí $$ \lim_{x\to +\infty}\sup_T\mathbb E\left[1_{\Gamma}\mathcal{E}(aL)_{T}\right]\leqslant \varepsilon^{2a(1-a)}. $$

Answer 2

La cuestión aquí es sólo verificar la definición de integrabilidad uniforme:

Por la integrabilidad uniforme de $\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)$ para cada $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que para $\mathbb{P}(\Gamma)<\delta$ , $E\left[1_{\Gamma}\exp\left(\frac{1}{2}L_{T}\right)\right]<\epsilon$ . Considerando la desigualdad dada en la pregunta, también podemos deducir que $E\left[1_{\Gamma}\mathcal{E}(aL)_{T}\right]\leqslant\epsilon^{2a(1-a)}$ para tal $\Gamma$ . A continuación, observe que $\epsilon$ se elige arbitrariamente, entonces la integrabilidad uniforme de $E\left[1_{\Gamma}\mathcal{E}(aL)_{T}\right]$ ha sido verificada.

Además, observe que $\Gamma$ puede elegirse arbitrariamente en $\mathcal{F}$ y la integrabilidad uniforme sólo verifica ciertas clases de $\Gamma$ .