¿Cómo podemos demostrar que la unión de sucesos independientes es igual a la intersección de todos los sucesos?

Question

Demostrar que si $E_1, E_2, E_3,...,E_n $ son sucesos independientes, entonces $P (E_1 \cup E_2 \cup E_3 ... E_n) = 1 - \prod \limits_{i=1}^{n} [1- P(E_i)]$ . El lado izquierdo muestra la probabilidad de conjunto completo $E_n$ y el $[1- P(E_i)]$ muestra el complemento de $E_i$ Estoy confundido con este producto $\prod \limits_{i=1}^{n}$ signo, es la suma de los productos, que debe ser la intersección de todos los $E_i$ ?

Answer 1

$\prod_{i=1}^n a_i$ significa el producto, es decir, computar $a_1 \times a_2 \times \ldots \times a_n$ .

Por la regla de De Morgan,

$$P \left( \bigcup_{i=1}^nE_i\right)=1-P \left( \bigcap_{i=1}^nE_i^c\right)=1-\prod_{i=1}^nP \left( E_i^c\right)$$

donde la última igualdad se debe a la independencia.