Relación entre el pecado y el cos con los lados del triángulo

Question

En un triángulo ABC, ${sinA < \frac{a}{c}}$ y ${cosA > \frac{b}{c}}$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre falsa en relación con el triángulo ABC?

1. ABC es un triángulo agudo
2. ABC es un triángulo isósceles
3. ABC es un triángulo obtuso donde B es un ángulo obtuso
4. ABC es un triángulo rectángulo donde A es un ángulo recto
5. ABC es un triángulo obtusángulo donde A es el ángulo obtuso

Sólo entiendo que la cuarta es falsa porque la relación sería igual en lugar de < o >, pero ¿cómo se resolvería el resto? ¡Cualquier ayuda será muy agradecida!

Answer 1

Le sugiero que dibuje las posibilidades. He dibujado algunas para ti.

Como ya sabes que el triángulo dado no es un triángulo rectángulo, el dibujo de la izquierda debería ser fácil de entender.

Mira el dibujo del medio. Puesto que el ángulo $A$ no ha cambiado, $\sin A$ y $\cos A$ tampoco se modifican. Pero $a$ se ha alargado, y $b$ se ha alargado (y $c$ no se modifica). Por lo tanto, $\sin A<\frac ac$ y $\cos A<\frac bc$ .

Mira el dibujo de la derecha. Puesto que el ángulo $A$ no ha cambiado, $\sin A$ y $\cos A$ tampoco se modifican. Pero $a$ se ha alargado, y $b$ se ha acortado (y $c$ no se modifica). Por lo tanto, $\sin A<\frac ac$ y $\cos A>\frac bc$ .

Espero que esto le dé suficientes pistas para responder a sus preguntas.