Demostrando que los coeficientes de la serie de potencias son los coeficientes de Taylor

Question

Supongamos que tenemos $f:I \to \mathbb{R}$ a $C^{\infty}$ y dejar que $I=(a- \delta, a+\delta)$

$\forall x \in I$ podemos escribir la función como la serie de potencias $f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$

Necesito demostrar que los coeficientes son exactamente los coeficientes de Taylor: $a_n = \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!}$

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Conozco el enfoque estándar sería argumentar que podemos derivar cada término pero como no sabemos si las series de las derivadas convergen uniformemente, tendríamos que demostrar que toda serie de potencias converge uniformemente en un compacto dentro de su intervalo de convergencia y además demostrar que la serie de derivadas tiene el mismo radio de convergencia de la serie original.

Sé que estoy siendo demasiado cauteloso, pero me gustaría saber si hay otra manera. Por ejemplo, utilizando la inducción para mostrar cuál sería la fórmula de la derivada n-ésima de la serie.... ¡Cualquier comentario sería de gran ayuda!

Answer 1

Puede darse el caso de que su serie converja sólo para $x=x_0$ ; en ese caso, no se puede decir nada de los coeficientes.

Si se sabe que la serie converge para algún $x_1>x_0$ (argumento similar si $x_1<x_0$ ) entonces se puede demostrar fácilmente que la serie converge uniformemente en $(x_0-c,x_0+c)$ donde $c=x_1-x_0$ .

Ahora la prueba de razón mostrará que para una serie de potencias el intervalo de convergencia para las derivadas es el mismo que para la serie original. Se deduce que la serie de derivadas también converge uniformemente en $(x_0-c,x_0+c)$ . Como consecuencia, ahora puedes diferenciar felizmente término por término para obtener tu expresión para $a_n$ .