Respondí a esta pregunta en mi tesis doctoral, dirigida por el OP: https://arxiv.org/abs/2206.11244
En el caso más sencillo, el gran topos cristalino sobre $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ clasifica la teoría geométrica de un anillo local $A$ junto con un ideal nulo $I \subseteq A$ y una estructura PD (estructura de poderes divididos) en $I$ .
En el caso afín general (Teorema 5.7.4), tenemos un par de esquemas base $\operatorname{Spec} R / \operatorname{Spec} K$ donde $K$ es un anillo dotado de un ideal PD $I_K \subseteq K$ y $R$ es un $K/I_K$ álgebra. Entonces el anillo local $A$ en la teoría es un $K$ más concretamente, está dotada de un homomorfismo de anillos PD $K \to A$ y el anillo cociente $A/I$ está equipado con un $R$ estructura del álgebra.
La tesis también explica cómo obtener una teoría clasificada en el caso de esquemas base no afines (Teorema 3.7.6 para el topos de Zariski, Teorema 5.8.3 para el topos cristalino), "pegando" teorías geométricas según cómo se pegue el esquema base a partir de esquemas afines.
En todos estos casos, hay que imponer condiciones de finitud adecuadas a los objetos del sitio que define el topos para que se mantenga el resultado de la clasificación. Para el gran topos de Zariski, el sitio contiene álgebras finitamente presentadas sobre el anillo base, o esquemas localmente de presentación finita sobre el esquema base. Para el topos cristalino, necesitamos una noción de presentación PD finita.
