¿Es el objeto $$ M = \{ \mathcal{O}(f(x)) \mid f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \}$$ ¿un juego? O tal vez tomar $\Omega(f(x))$ ¿en su lugar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, es un conjunto (al menos según los axiomas estándar de la teoría de conjuntos ).
Lo que has descrito es un conjunto de conjuntos de funciones. Los conjuntos de conjuntos de conjuntos de ... pueden parecer extraños al principio, pero son objetos perfectamente legales, y los axiomas de ZFC demuestran de hecho que existen.
De hecho, en ZFC todo ¡es un conjunto! Por ejemplo, he aquí una forma en que los números reales pueden implementarse dentro de ZFC (de la misma manera que un algoritmo puede implementarse en un lenguaje a través de un programa específico):
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Un número real es un conjunto de números racionales (el corte Dedekind izquierdo).
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Un número racional es un conjunto de pares ordenados de números enteros (= el conjunto de representaciones de ese racional).
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Un número entero es un par de la forma $(m, i)$ donde $m$ es un número natural y $i=0$ ("negativo") o $1$ ("positivo") - con la regla de que no permitimos $(0, 0)$ (no distinguimos entre $+0$ y $-0$ ).
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Números naturales - esta parte es estándar en la teoría de conjuntos - son ordinales finitos : $0$ es $\emptyset$ y $n+1$ es $n\cup\{n\}$ .
Y todo esto se construye en última instancia a partir del conjunto vacío, a través de complicados "conjuntos-de-conjuntos-de...". (Nótese que por ahora ignoro la cuestión de si, por ejemplo. $0$ en realidad es $\emptyset$ - Estoy pensando en ZFC simplemente como una forma específica de implementar las matemáticas que ya conozco "de alguna otra manera").
