¿Relación entre funciones hipergeométricas?

Question

¿Existe alguna relación entre las siguientes funciones hipergeométricas? $$\ _2F_1(1,-a,1-a,\frac{1}{1-z})$$ $$\ _2F_1(1,-a,1-a,{1-z})$$ $$\ _2F_1(1,a,1+a,\frac{1}{1-z})$$ $$\ _2F_1(1,a,1+a,{1-z})$$

Answer 1

En primer lugar, debe utilizar Representación integral de Barnes $${}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)}(-z)^sds. $$ La función hipergeométrica de Gauss ${}_2F_1(a,b;c;z)$ suele definirse mediante una serie de potencias que converge sólo para $|z|<1$ pero hay que extender la definición a todo el plano complejo, de forma que la función pueda evaluarse tanto en $1-z$ y $1/(1-z)$ .

Utilizando la representación integral, \begin{align*} \ _2F_1(1,-a;1-a;{1-z}) &= \frac{\Gamma(1-a)}{\Gamma(1)\Gamma(-a)}\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(1+s)\Gamma(-a+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a+s)}(z-1)^sds \cr &=\frac{(-a)}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{\Gamma(1+s)\Gamma(-s)}{s-a}(z-1)^sds, \end{align*} et \begin{align*} \ _2F_1\left(1,a;1+a;\frac{1}{1-z}\right) &= \frac{\Gamma(1+a)}{\Gamma(1)\Gamma(a)}\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(1+s)\Gamma(a+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1+a+s)}(z-1)^{-s}ds \cr &=\frac{a}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{\Gamma(1+s)\Gamma(-s)}{s+a}(z-1)^{-s}ds. \end{align*} En la segunda relación, cambia $s$ a $-s$ obtenemos (teniendo en cuenta todos los signos menos) $$ \ _2F_1\left(1,a;1+a;\frac{1}{1-z}\right) = \frac{a}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{\Gamma(1-s)\Gamma(s)}{a-s}(z-1)^{s}ds. $$ Por último, utilizando la relación $$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} \quad \mbox{and}\quad \Gamma(-s)\Gamma(1+s)=-\frac{\pi}{\sin \pi(-s)} = -\frac{\pi}{\sin \pi s},$$ obtenemos $$\ _2F_1(1,-a;1-a;{1-z}) = \ _2F_1\left(1,a;1+a;\frac{1}{1-z}\right)$$ y similar la equivalencia para el resto dos (o simplemente cambiar $a$ a $-a$ ).