Su pregunta es más bien psicológica. No obstante, le haré algunas observaciones.
Observación 1 Quizá la formulación de su pregunta no sea la mejor. Un espacio no compacto puede tener un volumen finito (me refiero sólo al volumen clásico, no al equivariante). Por ejemplo, puede considerar $\mathbb{C} = \mathbb{CP}^1 \ \backslash \ \{ \infty \}$ . Y considere el volumen simpléctico de $\mathbb{C}$ con respecto a la restricción de la forma Fubini-Study. Es finita $Vol[\mathbb{C}] = Vol[\mathbb{CP}^1]$ . Así que la pregunta correcta es la siguiente: sea M simpléctico, con volumen infinito. ¿Por qué el volumen equivariante de M puede ser finito?
Observación 2 Límite $\epsilon \rightarrow 0$ .
$$Vol[X] = \int e^{\omega - \epsilon H}$$
Si considera el caso $\epsilon = 0$ se obtiene el volumen habitual (dividido por $n!$ ). En su ejemplo vemos $$\infty = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{2 \pi}{\epsilon}$$
Observación 3 Así se intuyen las palabras "regularización" y "deformación". Por "regularización" me refiero a que tenemos un procedimiento que da una respuesta finita para una cantidad infinita (volumen) expresada a través de algunos regulador $\epsilon$ . "Deformación" significa lo siguiente: aunque la respuesta sea finita, sigue dependiendo de $\epsilon$ (véase el ejemplo de la esfera).
Observación 4 Hay que tener cuidado con este procedimiento para el espacio no compacto. Se puede considerar la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en lugar de en el sentido de las agujas del reloj. Esto cambia el signo del Hamiltoniano. Entonces para $\epsilon$ tu integral simplemente diverge.
$$ \int e^{\epsilon(x^2+y^2)} dx \wedge dy$$
Yo daría la siguiente interpretación a este resultado. Quizá sea más conveniente intuir no sólo el volumen equivariante, sino las integrales de formas cerradas equivariantes. Es seguro integrar formas cerradas sobre una variedad compacta. Se puede comprobar que para $\epsilon > 0$ formulario $e^{\omega - \epsilon(x^2+y^2)}$ se extiende a la forma regular en la esfera $S^2 = \mathbb{R}^2 \cup \infty$ . También se puede aplicar la fórmula de localización para esta forma y ver, que la contribución del infinito es 0. Por eso la fórmula de localización ingenua funciona en este caso ("fórmula ingenua" significa suma sobre puntos fijos de $\mathbb{R}^2$ ).
Para $\epsilon > 0$ formulario $e^{\omega + \epsilon(x^2+y^2)}$ no se extiende a $S^2$ .
Observación 5 En general, no es posible resolver este problema de divergencia cambiando el signo del Hamiltoniano. Por ejemplo, se puede considerar $\mathbb{R}^4$ con forma simpléctica $dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4$ y Hamiltoniano $$H = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - x_4^2)$$ .
Así pues, parece que no existe una buena teoría del volumen equivariante en general. No es un problema para los físicos. Se limitan a aplicar la fórmula de localización, pretendiendo que la contribución del infinito es 0.
