Un problema de la Olimpiada de Teoría de Números

Question

Encuentre el menor valor posible de $a+b$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos tales que $11$ divide $a+13b$ y $13$ divide $a+11b$ .

Lo que he probado:

Desde $13$ divide $a+11b$ , $13$ también divide $a-2b$ .

Desde $11$ divide $a+13b$ , 11 también divide $a+2b$

También GCD $(11,13)=1$ . No sé cómo avanzar a partir de aquí.

Answer 1

Ans: $a = 23,b = 5$

deje $a-2b = 13k_1$ $a+2b=11k_2$ ,

$a = \frac{13k_1+11k2}{2} \ b = \frac{11k_2-13k_1}{4}$ desde $b > 0$ , $11k_2 > 13k_1 -(i)$

$a+b = \frac{13k_1+33k_2}{4}$

tenga en cuenta que $k_2 > 0$ (como $a,b >0$ )

también $11k_2 - 13k_1$ es múltiplo de 4 $-(ii)$

por lo que elegir $k_2 = 1$ $by \ (i) \ k_1 <= 0$ pero $k_1 \not = 0 \ by\ (ii)$ también $ if k_1 < 0 $ no obtenemos ninguna solución

Procediendo de forma similar obtenemos $k_2 = 3$ y $k_1 = 1$ .

PD: por favor, compruebe algunos errores tontos. Gracias