¿Es correcta mi comprensión de la demostración del teorema de reordenación?

Question

Estoy leyendo la prueba de teorema de reordenación . ¿Podría verificar si mi interpretación de la última parte de la prueba es correcta o no?

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1. Según los autores

La desigualdad $(8.3)$ implica la convergencia absoluta de $\sum x_{\sigma(k)}$ .

Creo que la desigualdad $(8.3)$ implica que $\sum_{k=0}^{m}|x_{\sigma(k)}| \le \sum_{k=0}^{N}|x_{k}| + \varepsilon$ para todos $m \ge M$ . Como tal, la secuencia $(\sum_{k=0}^{m}|x_{\sigma(k)}|)_{m \in \mathbb N}$ está acotada y, por tanto, converge. Dado que $(\sum_{k=0}^{m}|x_{\sigma(k)}| )_{m \in \mathbb N}$ converge, $\sum x_{\sigma(k)} := (\sum_{k=0}^{m} x_{\sigma(k)})_{m \in \mathbb N}$ converge absolutamente.

2. Según los autores

Vemos que $\left|\sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)}-\sum_{k=0}^{N} x_{k}\right| \leq \varepsilon$ por lo que los valores de las dos series coinciden.

Creo que porque $\left|\sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)}-\sum_{k=0}^{N} x_{k}\right| \leq \varepsilon$ retenciones, $\left|\sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)}-\sum_{k=0}^{n} x_{k}\right| \leq \varepsilon$ es válido para $n \ge N$ . Como tal, tomamos el límite $n \to \infty$ y obtener $$\left|\sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)}- \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n} x_{k}\right| \leq \varepsilon \quad \text{or equivalently} \quad \left|\sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)}-\sum_{k=0}^{\infty} x_{k}\right| \leq \varepsilon$$

Volvemos a tomar el límite $\varepsilon \to 0$ y obtener $$\left|\sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)}-\sum_{k=0}^{\infty} x_{k}\right| \le \lim_{\varepsilon \to 0}\varepsilon = 0 \quad \text{or equivalently} \quad \sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)} = \sum_{k=0}^{\infty} x_{k}$$

Por tanto, los valores de las dos series coinciden.

Answer 1

1. Correcto.

2. Sea $S:=\sum_{k=0}^\infty x_{\sigma(k)}$ . Entonces $\big| S-\sum_{k=0}^n x_k\big|\le\varepsilon$ seguirá de hecho para $n>N$ pero tu razonamiento no es suficiente.
   Utilícelo, al igual que para $N$ También hay un $M'(\ge M)$ para $n$ tal que todos los índices $0,1,\dots,n$ están presentes en $\sigma(0),\dots,\sigma(M')$ .

   Una vez demostrado, podemos simplemente terminar por la definición de límite, ya que para cada $\varepsilon>0$ tenemos un $N$ tal que $n\ge N$ implica $|S-\sum_{k=0}^n x_k|\le\varepsilon$ .

Answer 2

A partir de la respuesta de @Berci, he arreglado mi intento aquí.

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Mi intento:

Para cada $\varepsilon>0$ hay algo de $N \in \mathbb{N}$ tal que $\sum_{k=N+1}^{m}|x_{k}|<\varepsilon$ para todos $m>N$ . Tomando el límite $m \rightarrow \infty$ se obtiene la desigualdad $\sum_{k=N+1}^{\infty}|x_{k}| \leq \varepsilon$ .

Sea $\sigma$ sea una permutación de $\mathbb{N}$ . Para cada $n \ge N$ , dejemos que $p_n =\max \{\sigma^{-1}(0), \ldots, \sigma^{-1}(n)\}$ tenemos $\{\sigma(0), \ldots, \sigma(p_{n})\} \supseteq\{0, \ldots, n\}$ . Entonces tenemos $$\left|\sum_{k=0}^{m} x_{\sigma(k)}-\sum_{k=0}^{n} x_{k}\right| \leq \sum_{k=n+1}^{\infty}\left|x_{k}\right|\leq \sum_{k=N+1}^{\infty}\left|x_{k}\right| \leq \varepsilon, \quad m \geq p_n, n \ge N \tag{8.2}$$ y también $$\left|\sum_{k=0}^{m} |x_{\sigma(k)}|-\sum_{k=0}^{n}| x_{k}| \right| \le \left|\sum_{k=n+1}^{\infty} |x_k| \right| = \sum_{k=n+1}^{\infty} |x_k| \le \sum_{k=N+1}^{\infty} |x_k| \leq \varepsilon, \quad m \geq p_n, n \ge N \tag{8.3}$$

En el caso particular $n=N$ la desigualdad $(8.3)$ se convierte en $\left|\sum_{k=0}^{m} |x_{\sigma(k)}|-\sum_{k=0}^{N}| x_{k}| \right| \le \varepsilon$ para todos $m \ge p_N$ . Esto implica $\sum_{k=0}^{m}|x_{\sigma(k)}| \le \sum_{k=0}^{N}|x_{k}| + \varepsilon$ para todos $m \ge p_N$ . En consecuencia, la secuencia $(\sum_{k=0}^{m}|x_{\sigma(k)}|)_{m \in \mathbb N}$ está acotada y, por tanto, converge. Dado que $(\sum_{k=0}^{m}|x_{\sigma(k)}| )_{m \in \mathbb N}$ converge, $\sum x_{\sigma(k)} := (\sum_{k=0}^{m} x_{\sigma(k)})_{m \in \mathbb N}$ converge absolutamente.

Tomamos el límite $m \to \infty$ en $(8.2)$ y obtener $$\left|\sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)}-\sum_{k=0}^{n} x_{k}\right| \leq \varepsilon, \quad n \ge N \tag{8.4}$$

Seguimos llevando al límite $n \to \infty$ en $(8.4)$ y obtener $$ \quad \left|\sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)}-\sum_{k=0}^{\infty} x_{k}\right| \leq \varepsilon$$

Por último, tomamos el límite $\varepsilon \to 0$ en la desigualdad anterior y obtenemos $$\sum_{k=0}^{\infty} x_{\sigma(k)} = \sum_{k=0}^{\infty} x_{k}$$

Por tanto, los valores de las dos series coinciden.