A matriz simpléctica es un $2n \times 2n$ matriz $M$ que cumpla la condición
$$ M^\mathsf{T} \Omega M = \Omega \tag{1} $$
donde la matriz $\Omega$ suele elegirse como matriz de bloques
$$ \Omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix} $$
que satisface $\Omega^{-1} = \Omega^\mathsf{T} = -\Omega$ . La inversa de $M$ existe, y se halla a partir de la Ec. (1) como
$$ M^{-1} = \Omega^{-1} M^\mathsf{T} \Omega = -\Omega M^\mathsf{T} \Omega \tag{2} $$
Sin embargo, tengo problemas para demostrar que $M^{-1}$ también es simpléctica, es decir, también satisface la propiedad definitoria Ec. (1):
$$ (M^{-1})^\mathsf{T} \Omega M^{-1} = \Omega \tag{3} $$
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Ruta 1: Multiplicar la Ec. (1) de la derecha por $M^{-1}$ y a la izquierda por $(M^\mathsf{T})^{-1} = (M^{-1})^\mathsf{T}$ puedo producir la Ec. (3)
$$ \Omega = (M^{-1})^\mathsf{T} \Omega M^{-1} $$
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Ruta 2: Tomando la inversa de la Ec. (1), obtengo
$$ \begin{align*} M^{-1} \Omega^{-1} (M^\mathsf{T})^{-1} &= \Omega^{-1} \\ \Rightarrow \quad M^{-1} \Omega (M^{-1})^\mathsf{T} &= \Omega \end{align*} $$
que no parece conducir a la Ec. (3).
Pregunta : ¿Cómo puedo llegar a la Ec. (3) utilizando la ruta 2? Alternativamente, ¿pueden las matrices simplécticas ser equivalentemente definida mediante la siguiente condición
$$ M \Omega M^\mathsf{T} = \Omega \quad ? \tag{4} $$
