Halla un ángulo en un triángulo dados un cevián y un par de segmentos iguales

Question

Encontré el siguiente problema en un examen de acceso a la universidad del año 1979 Cómo calcular $x$ si se mantiene $NA = BC,\ NB = NC$ ?

Intenté resolverlo ampliando $BC$ de $B$ hasta que consiga un segmento $DC$ de la misma longitud que $AC$ , pero luego ya no puedo continuar, porque creo que le faltan más datos, pero no estoy tan seguro. ¿Es posible encontrar el valor de $x$ sólo con estos datos?

Answer 1

El problema puede resolverse utilizando sólo las líneas que ya existen. En primer lugar, ajuste las longitudes de las líneas rojas para que sean $y$ (es decir, $y = |NB| = |NC|$ ) y que las longitudes de las líneas moradas sean $z$ (es decir, $z = |NA| = |BC|$ ), como se muestra a continuación

Desde $\triangle BCN$ es isósceles, entonces $\measuredangle BCN = \measuredangle CBN = x$ Así que $\measuredangle BNC = 180^{\circ} - 2x$ . También,

$$\measuredangle BNA = 2x, \; \; \measuredangle NBA = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 2x) = 150^{\circ} - 2x \tag{1}\label{eq1A}$$

Utilización de la ley de los senos en $\triangle BCN$ Además $\sin(180^{\circ}-2x) = \sin(2x)$ y $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ (por ejemplo, véase Lista de identidades trigonométricas ), da

$$\begin{equation}\begin{aligned} \frac{\sin(x)}{y} & = \frac{\sin(180^{\circ}-2x)}{z} = \frac{\sin(2x)}{z} \\ \frac{\sin(x)}{y} & = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{z} \\ \frac{z}{2y} & = \cos(x) \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

A continuación, utilizando \eqref {eq2A}, la ley de los senos en $\triangle ABN$ que $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ y $\sin(\theta + 90^{\circ}) = \cos(\theta)$ tenemos

$$\begin{equation}\begin{aligned} \frac{\sin(30^{\circ})}{y} & = \frac{\sin(150^{\circ}-2x)}{z} = \frac{\cos(60^{\circ}-2x)}{z} \\ \frac{z}{2y} & = \cos(60^{\circ}-2x) \\ \cos(x) & = \cos(60^{\circ}-2x) \\ \pm x+(360^{\circ})k & = 60^{\circ}-2x,\;\;k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{equation}\tag{3}\label{eq3A}$$

Con $k=0$ obtenemos $2$ soluciones para $x$ ,

$$x = 60^{\circ} - 2x \; \; \to \; \; x = 20^{\circ}, \qquad -x = 60^{\circ} - 2x \; \; \to \; \; x = 60^{\circ} \tag{4}\label{eq4A}$$

Todos los demás valores de $k$ conducen a $x$ valores fuera de rango (por ejemplo, $k = 1$ da $x=-100^{\circ}$ o $x=140^{\circ}$ ).

Answer 2

Sea $M$ sea el punto medio de $\overline{BC}$ (que es necesariamente también el pie de la perpendicular desde $N$ à $\overline{BC}$ ), y que $P$ sea el pie de la perpendicular desde $N$ à $\overleftrightarrow{AB}$ .

Tenga en cuenta que $|NP|=|NA|\sin30^\circ=\frac12|NA|=|MC|$ . De ello podemos concluir $\triangle PNB\cong\triangle MCN$ y, por tanto $\angle PNB=\theta$ . Desde $\angle ANB=2\theta$ tenemos $$3\theta=60^\circ \quad\to\quad \theta=20^\circ$$ ¡Hecho!

... o no ...

Como se señala en Respuesta de @JohnOmeilan y comentar, la solución alternativa ( $\theta=60^\circ$ ) surge si $P$ se encuentra entre $A$ y $B$ :

En este caso, los cuatro segmentos marcados en la imagen original son congruentes.