Demuestre que 1/n puede ser un límite para la probabilidad de obtener un mínimo en el sorteo n+1

Question

La cuestión es la siguiente, supongamos ( ${z_0,z_1,z_2..z_n}$ ) son variables aleatorias independientes extraídas de la misma distribución F.Defina que el mínimo de este conjunto tiene un ( $a=\min(z_0,z_1..z_n)$ ).Quiero demostrar que la probabilidad de siguiente extraído de la distribución (de modo que representa $z_{n+1}$ ) inferior a $a$ es inferior a $\frac{1}{n}$

Demuéstralo: $$Prob(z<a) < \frac{1}{n} $$

Cosas que he probado y duelo, no es difícil ver que el mínimo tiene el pdf ( $Prob(A<a) =1-(1-F(a)))^n$ por lo que tiene una función de densidad de probabilidad off $nf(a))(1-F(a))^{n-1}$

Así que para calcular explícitamente la probabilidad requerida podemos hacer algo como lo siguiente: a $$ Prob(z<a) =\int_{z=-\infty}^{z=+\infty}\int_{a=z}^{a=+\infty} f(a)f(z)dadz=\int_{z=-\infty}^{z=+\infty}\int_{a=z}^{a=+\infty} nf(z)f(a)(1-F(a))^{n-1}dadz$$

el único límite que puedo sacar de esto es poner F(a) = 0 en la bruja integral da

$$ Prob(z<a) <= n\int_{z=-\infty}^{z=+\infty}\int_{a=z}^{a=+\infty} f(z)f(a)dadz = n\int_{z=-\infty}^{z=+\infty}f(z)[F(+\infty)-F(z)]dz= n\int_{z=-\infty}^{z=+\infty}f(z)[1-F(z)]=n(1-\int_{z=-\infty}^{z=+\infty}f(z)F(z)dz) =\frac{n}{2}$$

evaluando esta integral por partes: $$\int f(z)F(z)dz= F(z)^2-\int f(z)F(z)dz$$ que da $$\int f(z)F(z)dz = \frac{F(z)^2}{2} $$ evaluándolo en extremos que da $\frac{1}{2}$ . Así que en mi defensa el valor de n = 2 parece agradable xp

Creo que estoy atacando el problema de forma equivocada , cualquier sugerencia sería de gran ayuda. (nótese que tampoco estoy seguro de haber formulado correctamente el problema).

Bueno supongo que ahora lo resuelvo , si no digo (F(a) = 0),Es visible que se pueden simplificar las integrales para llegar a la respuesta correcta. se puede integrar $f(a)(1-F(a))^n$ con bastante facilidad , y luego tienes otra integral similar y llegas a $\frac{1}{n+1}$ todavía probablemente era un overkil

Answer 1

$P(z<a)$ es igual a la probabilidad de que $z_0,\dots,z_n,z_{n+1}$ tiene un único valor mínimo $z_{n+1}.$ Pero si los valores $z_0,\dots,z_n,z_{n+1}$ proceden de variables aleatorias independientes idénticas, entonces dado que existe un mínimo único, la probabilidad de que sea $z_{n+1}$ es $\frac{1}{n+2}.$

Así que si $q$ es la probabilidad de que $n+2$ de estos i.i.d. tienen un mínimo único, entonces:

$$P(z_{n+1}<a)=\frac{q}{n+2}\leq \frac{1}{n+2}\leq\frac{1}{n}$$

Obsérvese que cuando la distribución es continua, entonces la probabilidad de que dos de los $z_i$ son iguales es cero, y por lo tanto tenemos $q=1$ y $P(z_{n+1}<a)=\frac{1}{n+2}.$