¿Cuándo podemos demostrar constructivamente que un anillo con unidad tiene un ideal maximal?

Question

Muchos manuales de álgebra conmutativa establecen que todo ideal de un anillo está contenido en un ideal maximal apelando al lema de Zorn, que no me gusta por motivos de no constructividad. Para los anillos noetherianos me han dicho que se puede sustituir el lema de Zorn por la elección contable, lo cual está bien, pero no lo bastante bien; me gustaría prescindir por completo de la elección.

Entonces, ¿bajo qué hipótesis adicionales sobre un anillo $R$ ¿podemos exhibir uno de sus ideales maximales permaneciendo en ZF? (Agradecería ambas hipótesis sobre la estructura de $R$ e hipótesis sobre lo que se nos da además de $R$ por ejemplo, si $R$ es un álgebra finitamente generada sobre un campo, una elección explícita de generadores).

Edición: Supongo que también es pertinente preguntarse si aquí hay problemas de decidibilidad.

Answer 1

Hay ciertos tipos de anillos que me vinieron a la mente cuando vi esta pregunta. $K[v]:=$ Anillo de coordenadas de una variedad afín $V$ sobre un campo $K$ y $C(X, F)$ := el anillo de continuos $F$ -valorado ( $F$ un campo topológico) funciones sobre un espacio compacto $X$ . En ambos ejemplos se pueden construir ideales máximos como conjuntos cero de subconjuntos mínimos cerrados de cierto espacio topológico (En un caso $V$ y en otro caso $X$ ). Así pues, para $C(X, F)$ algunos ideales máximos corresponden a puntos de $X$ y para $K[V]$ algunos ideales máximos corresponden a puntos de $V$ .

Otra forma de plantearse la cuestión es la siguiente analogía con ella. ¿Bajo qué hipótesis podemos exponer una base de un espacio vectorial sin utilizar ninguna forma de elección? aquí la respuesta clara debería ser ¡espacios de dimensión finita! Esto da una idea clara de lo que son los anillos $R$ que debemos considerar, son $R$ que son anillos artinianos.

Sobre la decidibilidad yo diría que pienses en anillos booleanos. La categoría de anillos booleanos es equivalente a la categoría de álgebras booleanas. Bajo esa equivalencia se tiene una correspondencia entre ideales y filtros que lleva los ideales maximales a los ultrafiltros. Si no me equivoco la existencia de ultrafiltros es equivalente a alguna forma de elección (ver http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/fulltext/103520653/PDFSTART ) por lo que la misma forma de elección debería ser equivalente a la existencia de ideales maximales.

Answer 2

He aquí un tipo de ejemplo procedente de la Geometría Analítica (en el sentido del segundo "GA" en el "GAGA" de Serre).

Considere un dominio $D$ en $\mathbb C$ . Entonces cada $\mathbb C$ -morfismo de álgebra (también conocido como carácter) $\chi : \mathcal O (D) \to \mathbb C$ es de la forma $ev_d:f \to f(d)$ con $d=\chi (z) \in D$ . Esto es completamente elemental: basta con escribir $f(z)= f(d)+(z-d)g(z)$ y que $\chi$ actuar a ambos lados de la igualdad.[Tienes que convencerte de que $d$ está en $D$ no sólo en $\mathbb C$ Si no $1=(z-d).(z-d)^{-1}$ llevaría a 1=0 aplicando $\chi$ ].

[Lipman Bers demostró en 1948 que, dados dos dominios $D,D'\subset \mathbb C$ un isomorfismo puramente algebraico $u:\mathcal O (D) \to\mathcal O (D')$ proviene necesariamente de un isomorfismo analítico $f=u(z): D' \to D$ .]

Una amplia generalización es que para cualquier múltiple de Stein (o incluso espacio de Stein) X, todos los caracteres $\mathcal O (X) \to \mathbb C$ son evaluaciones en un punto de $X$ y producen ideales máximos $ker \chi$ de $X$ . Esto se demuestra en el libro de Grauert-Remmert "Teoría de los espacios de Stein" y mirando más bien superficialmente a la prueba PIENSO que el axioma de elección no se utiliza. Desde luego, no es una respuesta satisfactoria a la pregunta de Qiaochu (en particular, no sé nada de otros ideales máximos en $\mathcal O (X)$ (¿existen?), pero quizá estos resultados no tan conocidos puedan interesar a algún lector.