¿Cuándo podemos demostrar constructivamente que un anillo con unidad tiene un ideal maximal?

Question

Muchos manuales de álgebra conmutativa establecen que todo ideal de un anillo está contenido en un ideal maximal apelando al lema de Zorn, que no me gusta por motivos de no constructividad. Para los anillos noetherianos me han dicho que se puede sustituir el lema de Zorn por la elección contable, lo cual está bien, pero no lo bastante bien; me gustaría prescindir por completo de la elección.

Entonces, ¿bajo qué hipótesis adicionales sobre un anillo $R$ ¿podemos exhibir uno de sus ideales maximales permaneciendo en ZF? (Agradecería ambas hipótesis sobre la estructura de $R$ e hipótesis sobre lo que se nos da además de $R$ por ejemplo, si $R$ es un álgebra finitamente generada sobre un campo, una elección explícita de generadores).

Edición: Supongo que también es pertinente preguntarse si aquí hay problemas de decidibilidad.

Answer 1

Si el anillo es contable (o la imagen de un buen orden lineal), entonces no se requiere ningún tipo de elección (ni siquiera contable) y, de hecho, ni siquiera la ley del medio excluido: Existe una construcción explícita, admisible según las normas de la matemática constructiva.

Este resultado se debe a Krivine y fue dilucidado por Berardi y Valentini. Véase aquí una introducción: https://arxiv.org/abs/2207.03873

En el caso general, podemos obligar al anillo a ser contable pasando a una extensión adecuada del universo. En el universo extendido, podemos aplicar de nuevo la construcción de Krivine. Desde el punto de vista del universo extendido, habremos conseguido construir un ideal maximal. Desde el punto de vista del universo base, sólo habremos construido una gavilla de ideales adecuada.

El universo base y el universo ampliado validan los mismos enunciados de primer orden. (Constructivamente, esto es un hecho no trivial.) Por lo tanto, aunque un ideal maximal en sí mismo podría no existir constructivamente, sus consecuencias de primer orden se mantendrán constructivamente.

Este fenómeno se analiza brevemente en la sección 4 del documento vinculado.

Answer 2

Sospecho que la respuesta razonable más general es un anillo dotado de un sustituto constructivo de lo que te hubiera dado el axioma de elección.

¿Cómo se demuestra en la práctica que un anillo es noetheriano? Explícita o implícitamente, se halla una altura ordinal para sus ideales. Una vez hecho esto, un ideal de altura mínima es un ideal máximo. Esto basta para demostrar de forma bastante directa que cualquier anillo de campo numérico tiene un ideal maximal: Las normas de los elementos sirven como altura noetheriana.

La Nullstellensatz implica que cualquier anillo finitamente generado sobre un campo es constructivamente noetheriano en este sentido.

Cualquier dominio euclidiano es también constructivamente noetheriano, creo. Una norma euclidiana es una altura ordinal, pero no a primera vista una con la propiedad de que $a|b$ implica que $h(a) \le h(b)$ (con igualdad sólo cuando $a$ y $b$ son asociados). Sin embargo, se puede hacer una nueva altura euclidiana $h'(a)$ de $a$ definido como el mínimo de $h(b)$ para todos los múltiplos distintos de cero $b$ de $a$ . Creo que esto le da una altura noetheriana.

No estoy seguro de que un dominio ideal principal sea por sí mismo una estructura constructiva, pero de nuevo, normalmente hay un argumento basado en ordinales de que es un PID.

Answer 3

Debería echar un vistazo a "A Logical Approach to Abstract Algebra" de Coquand y Lombardi.

Observan que los anillos conmutativos tienen una descripción puramente ecuacional, por lo que existen metateoremas muy sólidos que se aplican a esta teoría: El teorema de completitud de Birkhoff para la lógica ecuacional, por supuesto; y también el teorema de Barr, que afirma que si una sentencia geométrica es consecuencia de una teoría geométrica con lógica clásica más elección, también es intuitivamente válida. (Y todas las teorías ecuacionales son también teorías geométricas).

Refuerzan un poco el teorema de Barr, caracterizando las pruebas intuicionistas pertinentes, y luego "desnoetherianizan" varios teoremas básicos que suelen demostrarse utilizando ideales maximales.

Answer 4

A diferencia de la elección completa, es probable que utilices la elección contable en todas partes sin ni siquiera reconocerlo. Cada vez que haces algo de forma iterativa y luego pones algún tipo de límite a tu construcción, estás utilizando la elección contable. En muchos casos, si llevas una contabilidad muy cuidadosa, puedes eliminarla caso por caso. Pero hay que tener mucho cuidado. Sin elección contable, la unión contable de conjuntos contables no es necesariamente contable.

Answer 5

Me parece que hay dos puntos aquí.

(1) Un anillo se llama noetheriano si cualquier cadena ascendente de ideales termina. Creo que todos los hechos estándar sobre anillos noetherianos se pueden demostrar sin elección: $\mathbb{Z}$ es noetheriano; los campos son noetherianos; $A$ noetheriano implica $A[x]$ noetherianos; que los cocientes de anillos noetherianos son noetherianos; las localizaciones de anillos noetherianos son noetherianos; las terminaciones de anillos noetherianos son noetherianas.

Esto debería resolver la mayoría de los anillos que necesitamos en geometría algebraica.

Sin embargo, me preocupa otra cuestión:

(2) La prueba habitual de que los anillos noetherianos tienen ideal maximal es la siguiente. Sea $A$ sea un anillo sin ideales maximales. Tomemos el ideal $I_0 = \{ 0 \}$ . Como no es maximal, elige un ideal $I_1$ que lo contiene. Elija un ideal $I_2$ que contiene $I_1$ . Continúe de esta manera para producir una cadena $I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq \cdots$ . Esto no termina, así que $A$ no es noetheriano.

Esta prueba, por supuesto, utiliza la elección contable. Mi intuición me dice que esto puede eliminarse para el mismo tipo de anillos que trato en (1). Pero, ¿alguien sabe una referencia para esto?