Criterios para que un elemento esté en un conjunto

Question

Actualmente estoy trabajando en el próximo gran tema de matemáticas (también conocido como álgebra discreta de 3er curso... qué asco), así que es probable que publique un montón de preguntas aquí (ya que nuestro profesor ha sido descrito recientemente como "poco servicial").

La consulta de hoy - Una sobre la que parece que no soy capaz de encontrar una gran cantidad de información específica: Tengo:

$\boldsymbol{G}$ un grupo. $\boldsymbol{H}$ es un subgrupo de G, y A es un subconjunto de G. Se nos da el siguiente enunciado que es la primera parte de una prueba de equivalencia:

$Ag = A$

Para $g\,\epsilon\, H$ . Mi pregunta - ¿implica esto que $g$ también está en $A$ ? Pienso que si tengo una multiplicación de dos elementos y termino con el conjunto, esto debe implicar que esos elementos están contenidos en el conjunto. Mi única duda es que $A$ es un subconjunto y, por lo tanto, no tiene que ser necesariamente cerrado bajo multiplicación. Sin embargo, si para cualquier $g$ en $G$ Tengo la $A$ de nuevo, ¿no implica esto que todos $g$ en $H$ también está en $A$ ? (De lo que también se deduce que $H$ está contenido en $A$ ?)

Answer 1

Dado un grupo $G$ un subgrupo $H \subseteq G$ y un subconjunto $A \subseteq G$ tal que $A g = A$ para todos $g \in H$ , tienes $H \subseteq A$ sólo si $1 \in A$ . En primer lugar, si $H \subseteq A$ entonces $1 \in H \subseteq A$ Así que $1 \in A$ . En segundo lugar, si $1 \in A$ entonces $g = 1 \cdot g \in A g = A$ para todos $g \in H$ Por lo tanto $H \subseteq A$ .

Por último, obsérvese que existen subconjuntos $A$ de $G$ que son invariantes bajo multiplicación con elementos de $H$ y no contengan $1$ (por ejemplo, el conjunto vacío).

Answer 2

La respuesta es no. He aquí algunos contraejemplos:

1. $H = \{1\}$

2. $G=H$ los números enteros. $A$ los números pares