Digamos que tenemos una SVD para una matriz $X = U \Sigma V^T$ dando la norma de traza $||X||_{tr} = ||\Sigma||_{tr} = \sum \Sigma_{ii}$ . Me pregunto qué pasa con la norma SVD y/o traza si dejamos multiplicar con una matriz diagonal que simplemente escala la fila de $X$ ? ¿Es posible escribir el SVD de $DX$ o la norma de traza de $DX$ en términos de la diagonal de $D$ y el SVD de $X$ ?
Respuestas
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Gautam
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En realidad hay una respuesta, pero algo compleja. Denotemos la descomposición SVD de $X$ por $USV'$ denota $qr(DU) = QR$ y denota la descomposición SVD de $RS$ por $U_1S_1V_1'$ entonces la descomposición SVD de $DX$ es $(QU_1)S_1(VV_1)'$ .
Prueba: $DX= DUSV'=QRSV'=(QU_1)S_1(V_1'V') = (QU_1)S_1(VV_1)'$ . $QU_1$ es unitario y $VV_1$ es unitario y $S_1$ es diagonal.
Interpretación: los valores singulares de $DX$ son los valores singulares de $RS$ . Así, los valores singulares originales se multiplican por el triangular superior $R$ de la $qr$ descomposición de $DU$ es decir, $D$ tras transformación unitaria por bases derechas $U$ de $X$ .
No tengo ni idea de cómo interpretar este resultado geométrica o físicamente, pero quizá alguien pueda hacerlo.
De forma trivial, se puede escribir SVD de $DX$ en términos de $U$ , $\Sigma$ , $V$ multiplicando $DX=DU\Sigma V^T$ y tomando la SVD de eso. Pero, por supuesto, esta no es la cuestión. Entiendo que la pregunta es si existe una relación transparente entre las SVD de $X$ et $DX$ . A lo que la respuesta es: no.
Consideremos el caso bidimensional. La imagen del disco unitario $\mathbb D$ en $X$ es una elipse $E$ . El SVD de $X$ nos indica la longitud de los semiejes de $E$ son y cómo están orientados: por ejemplo, los semiejes son $3$ et $2$ con los semiejes mayores formando un ángulo $\pi/3$ con el $x$ -Eje. Bien.
Ahora $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ aparece y se estira $E$ por el factor $2$ en dirección horizontal. ¿Cuáles son los nuevos semiejes? ¿Cómo están orientados? No hay forma fácil de responder a estas preguntas mirando la geometría; ni siquiera es geométricamente obvio que lo estirado sea una elipse. Lo que hacemos es volver a la transformación lineal $DX$ y calcular a partir de ahí.
