Demostrar que $3^n > 2n^2 + 3n$ para $n \in [4,\infty) \cap\mathbb{N}$

Question

Si $n$ es un número natural $n\ge 4$ demuestre que $3^n > 2n^2 + 3n$

Supongo que debo utilizar la inducción. La base $n=4$ paso está claro, pero cómo demuestro el paso inductivo. He intentado varias cosas, como comparar $f(n+1)/f(n)$ et $f(n+1)-f(n)$ pero no parecían ayudar. ¡Una pista sería genial!

Answer 1

$3^{n+1}=3(3^n)>\overbrace{3(2n^2+3n)}^{\text{inductive assumption}}=6n^2+9n=\overbrace{6n^2+7n+2n>6n^2+7n+5}^{\textrm{for n>2.5}}$ $>2n^2+7n+5=2(n+1)^2+3(n+1)$

Answer 2

I.H.: $3^n>2n^2+3n$ . Considere $2(n+1)^2+3(n+1)=2n^2+2+4n+3n+3=2n^2+5+7n$ . Entonces, $3^{n+1}=3\times 3^n>3(2n^2+3n)=6n^2+9n$ por la hipótesis de inducción. Puesto que para $n\geq4$ , $6n^2+9n>2n^2+5+7n$ ( $6n^2+9n>2n^2+5+7n\implies 4n^2+2n>5$ lo que es cierto para $n>0.895$ y, por tanto, es cierto para $n\geq4$ ), la afirmación es cierta para $n+1$ .

Answer 3

Escriba a

$$f(n) = 3^n - 2 n^2 - 3 n$$

Entonces

$$f(n+1) = 3^{n+1} - 2 \big(n+1\big)^2 - 3 \big(n+1)$$

que puede escribirse como

$$f(n+1) = 3 \big( 3^n - 2 n^2 - 3 n \big) + 6 n^2 + 9 n - 2 \big(n+1\big)^2 - 3\big(n+1)$$

Así que

$$f(n+1) = 3 f(n) + 4 n^2 + 2 n - 5$$

Tenga en cuenta que

$$f(3) = 0$$

Y tenga en cuenta que

$$4 n^2 + 2 n - 5 > 0$$

para $n \ge 1$ de donde

$$f(n) > 0$$

para $n \ge 4$ ,

por lo tanto

$$3^n - 2 n^2 - 3 n > 0$$

para $n \ge 4$ o

$$3^n > 2 n^2 + 3 n$$

para $n \ge 4$ .