Por ejemplo, $\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid xy\ge 0\}$ (es decir, el primer y tercer cuadrante del plano, más los ejes de coordenadas). Se trata de un dominio estelar con centro estelar $(0,0)$ pero su interior ni siquiera está conectado, por lo que no puede ser un dominio estrella.
Siempre que el dominio estelar original tenga un punto interior como centro estelar, su interior seguirá siendo un dominio estelar: Supongamos sin pérdida de generalidad que $x_0=0$ y supongamos que $x$ es un punto interior de $S$ . Luego tiene un barrio totalmente en $S$ . Para cada $t\in (0,1]$ podemos escalar todo este vecindario por un factor de $t$ obtener un vecindario de $tx$ que debe estar totalmente en $S$ debido a la propiedad estrella-dominio. Por tanto, sabemos que cada punto de $\overline{x_0x}$ debe estar en el interior de $S$ , excepto posiblemente $x_0$ sí mismo. Así, si sólo $x_0$ es un punto interior, entonces funcionará como estrella-centro para el interior de $S$ también.
Por otra parte, no es una condición necesaria: Hay algunos dominios-estrella cuyo sólo es un punto límite, pero cuyo interior es, sin embargo, un dominio estelar - por ejemplo, la unión de los dos ejes de coordenadas y un de los cuadrantes del plano.
4 votos
Un ejemplo tonto: Un segmento de línea en $\Bbb R^2$ . Aquí el interior está vacío. Usa esta idea para obtener un contraejemplo con interior no vacío. (Que el punto estrella esté en algún lugar que no esté en el interior...)
0 votos
¿Sería suficiente un conjunto Singleton?
0 votos
Considere $S:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|y|\leq|x|\}$ .