Afirmaciones sobre derivadas e integrales

Question

Mi profesor me dio un ejemplo.

Se ha dado un intervall $I=\left [ a,b \right ]\subset \mathbb{R}$ y una función $f:I\mapsto \mathbb{R}$ . También se dan 8 enunciados sobre derivadas e integrales, así que allá vamos:

A: f es integrable de Riemann.

B: Para todos $c\in I$ aplica que $\lim_{x\mapsto c}f(x)=f(c)$ .

C: Para todos $c\in I$ aplica que $f(x)= \sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ .

D: $f$ es para I cinco veces continuamente diferenciable.

E: $f$ es continúa para I.

F: $f(x)=\int_{a}^{x}g(s)ds$ con una función continua $g:\left [ a,b \right ] \mapsto \mathbb{R}$ .

G: $f$ está limitada.

H: $f$ es para $I$ continuamente diferenciable.

Tuve que ordenar por fuerza. La respuesta es:

$C \implies D \implies H \Leftrightarrow F\implies E \Leftrightarrow B \implies A\implies G$

¿Puede alguien explicarme por qué es así?

Entiendo por qué es cierto lo de everystatment, pero no entiendo cómo ordenarlos por fuerza. Sólo entiendo por qué $ D \implies H$ y ya está.

¿Puede alguien explicarme esto?

Answer 1

Una función como la indicada en $C$ es, entre otras cosas, infinitas veces continuamente diferenciable (el nombre de la condición en $C$ es analítica Después de los polinomios, son las funciones más agradables con las que se puede trabajar). Esto le explicará por qué $C \implies D$ pero $D$ no implica $C$ . $D$ implica obviamente $H$ pero $H$ no implica $D$ ya que hay funciones que pueden diferenciarse una vez, pero no cinco (por ejemplo $|x^3|$ ).

Teniendo en cuenta el comentario de Dark más arriba, si $H$ se mantiene, entonces se puede demostrar que $F$ se cumple estableciendo $f'(x) = g(x)$ . A la inversa, si $F$ se cumple, se puede diferenciar el lado derecho de la ecuación para obtener $g(x)$ lo que significa que $f'(x)$ existe y es continua. Así que $F\Longleftrightarrow H$ (este resultado específico se conoce más comúnmente como el teorema fundamental del cálculo ).

Por supuesto, si una función es continuamente diferenciable, entonces es continua, pero la inversa no se cumple (véase $|x|$ para un contraejemplo). Así que obtenemos $H \implies E$ . $B$ no es más que una definición alternativa de continuo denominada secuencialmente continua, y de hecho es equivalente a la definición habitual siempre que sus espacios sean lo suficientemente bonitos (cualquier $\Bbb R^n$ para $n \in \Bbb N$ o subespacios de los mismos son, en este contexto, suficientemente agradables).

Una función que es continua en un intervalo cerrado es necesariamente integrable de Riemann, pero lo contrario no es cierto, ya que podría tener $$ f(x) = \cases{0 & if $ x < \frac{a + b}{2} $\\1 & if $ x \geq \frac{a+b}{2} $} $$ que nos da $E \implies A$ . Por último, toda función integrable de Riemann en un intervalo cerrado debe estar acotada, pero $$ f(x) = \cases{0 & if $ x $ is rational\\1 & if $ x $ is irrational} $$ demuestra que existen funciones acotadas que no son integrables de Riemann. Esto da $A \implies G$ que terminó la cadena.