Variedades algebraicas topológicamente contractibles

Question

En un puesto a El truco Jouanolou :

¿Son todos topológicamente trivial (contractible) variedades algebraicas complejas ¿es necesariamente afín? ¿Existen ejemplos de espacios no biracionalmente equivalentes a un espacio afín?

Los ejemplos que me vienen a la mente son similares a un singular $\mathbb P^1$ sin un punto dado por la ecuación $x^2 = y^3$ . Esta curva en particular es claramente biracionalmente equivalente a la línea afín.

¿Quizás lo de "afín" se deba a una comparación entre la cohomología de Zariski y la cohomología compleja?

Answer 1

No. Los contraejemplos fueron construidos por primera vez por Winkelmann, como cocientes de $\mathbb A^5$ mediante acciones algebraicas de $\mathbb G_{\text{a}}$ . Esto lo aprendí del muy buen artículo de Hanspeter Kraft disponible aquí:

Problemas de afinidad $n$ -espacio .

Recientemente, Aravind Asok y Brent Doran han estudiado este tipo de ejemplos en el marco de la $\mathbb A^1$ -teoría de las homotopías, en el arxiv como Sobre cocientes unipotentes y algunos esquemas lisos contratables A^1 .

Answer 2

Sobre la racionalidad de las variedades contractibles: Sí para curvas y superficies y es un pregunta abierta para dimensiones superiores.

Cualquier variedad contractible $X$ tiene $\chi_\text{top}(X)=1$ obviamente.

Si $X$ es una curva, entonces sólo debe tener cúspides como singularidades, si las hay, por una simple $\chi_\text{top}$ cálculo. Ahora dejemos que $Y$ sea un modelo proyectivo de $X$ tal que es suave en los puntos de $Y-X$ . Topológicamente, $Y$ es una superficie real sin límites tal que unos pocos pinchazos la hacen contractible. La única superficie real con esta propiedad es $S^2$ obviamente. Por lo tanto $Y$ mejor ser racional y también lo es $X$ .

Si $X$ es una superficie algebraica, entonces Van de Ven conjeturó que dicha superficie debe ser racional (en realidad su conjetura es para cualquier superficie homológicamente trivial $X$ ). Esto fue demostrado por Gurjar & Shastri en:

• Sobre la racionalidad de la homología compleja 2-células
• Aquí está el la parte II del artículo anterior (número de revisión en MathSciNet MR0984747)