¿Cómo construir una función con las propiedades deseadas?

Question

Me preguntaba si hay alguna manera sistemática de llegar a una función con propiedades específicas.

Quiero tener una función cóncava en el dominio de $[0, 1]$ donde $f(0) = 0$ y $f(1) = 1$ . En otras palabras, es cóncava hacia abajo, pero cruza $f(x) = x$ en $x = 0$ y $x = 1$ . También quiero tener un parámetro que controle la concavidad.

Estaba pensando en $-kx^2 + (k+1)x$ con ensayo y error.

En general, ¿cuál es la mejor manera de obtener una función con propiedades específicas?

Answer 1

Si $f:[0,1] \to \mathbb R$ es dos veces diferenciable, entonces tenemos:

$f$ es cóncava $ \iff f'' \le 0 $ en $[0,1]$ .

Ahora dejemos que $f$ ser de la forma $f(x)=ax^2+bx+c$ . Entonces es fácil ver que $f$ es cóncava, $f(0)=0 $ y $f(1)=1 \iff a \le 0$ y $b=1-a.$