Teorema de la clase monótona

Question

Tengo una pregunta sobre el Teorema de la Clase Monótona y su aplicación. Primero expongo el Teorema:

Sea $\mathcal{M}:=\{f_\alpha; \alpha \in J\}$ sea un conjunto de funciones acotadas, tales que $f_\alpha:N\to \mathbb{R}$ donde $N$ es un conjunto. Además suponemos que $\mathcal{M}$ es cerrado bajo multiplicación y definimos $\mathcal{C}:=\sigma(\mathcal{M})$ . Sea $\mathcal{H}$ sea un espacio vectorial real de funciones acotadas de valor real sobre $N$ y asumir:

1. $\mathcal{H}$ contiene $\mathcal{M}$
2. $\mathcal{H}$ contiene la función constante $1$ .
3. Si $0\le f_{\alpha_1}\le f_{\alpha_2}\le \dots$ es una secuencia en $\mathcal{H}$ y $f=\lim_n f_{\alpha_n}$ está acotada, entonces $f\in \mathcal{H}$

Entonces $\mathcal{H}$ contiene todos los $\mathcal{C}$ -funciones medibles.

Mi primera pregunta: Conozco el lema de Dynkin que trata de $\sigma$ -Algebras y $\pi$ -Sistemas. ¿Cuál es el más fuerte, es decir, Monotone Class implica Dynkin o al revés? (¿O son iguales?) ¡Una referencia para una prueba también sería genial!

Mi segunda pregunta se refiere a una aplicación. Vamos a $X=(X_t)$ sea un proceso estocástico continuo recto con $X_0=0$ a.s. y denotado por $F=(F_t)$ una filtración, donde $F_t:=\sigma(X_s;s\le t)$ . Quiero mostrar:

Si para todos $0\le t_1<\dots<t_n<\infty$ los incrementos $X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}$ son independientes, entonces $X_t-X_s$ es independiente de $F_s$ para $t>s$ .

La sugerencia del libro es utilizar el Teorema de la Clase Monótona. Así que $$\mathcal{H}:=\{Y:\Omega\to \mathbb{R} \mbox{ bounded };E[h(X_t-X_s)Y]=E[h(X_t-X_s)]E[Y] \forall h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \mbox{ bounded and Borel-measurable}\}$$

Esta elección está clara. Ahora dicen $$\mathcal{M}:=\{\prod_{i=1}^n f_i(X_{s_i});0\le s_1\le \dots\le s_n\le s,n\in \mathbb{N},f_i\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \mbox{ bounded and Borel-measurable}\}$$

Dos preguntas sobre esta elección:

1. ¿Por qué $\sigma(\mathcal{M})=\mathcal{F}_s$ ?
2. ¿Por qué definen $\mathcal{M}$ ¿Así? (¿Como familia de productos?)

Gracias de antemano.

hulik

Answer 1

1) Teorema de la clase monótona y $\pi-\lambda$ -de Dynkin son formas complementarias de demostrar que un determinado conjunto de subconjuntos contiene un $\sigma$ - álgebra.

Se puede demostrar que $M(G)$ la clase monótona más pequeña de un álgebra $G$ es un $\lambda$ - sistema. Del mismo modo, se puede demostrar que $\lambda(P)$ el más pequeño $\lambda$ - sistema de un $\pi$ - sistema $G$ es una clase monótona.

Se trata de ver cuál es el criterio más sencillo.

P:Es más fácil comprobar que $G$ es un álgebra o para comprobar que es una $\pi$ - sistema?

R: Es más fácil comprobar que $G$ es un $\pi$ (cada álgebra es un $\pi$ -sistema del que no se deduce lo contrario)

P:Es más fácil comprobar que $M$ es una clase monótona o para comprobar que es una clase $\lambda$ - sistema?

R: Es más fácil comprobar que $M$ es un $\lambda$ (cada álgebra es un $\lambda$ -sistema del que no se deduce lo contrario)

2 Para ver que $\sigma(M) = \mathcal{F}_s$ tenga en cuenta que puede aproximar $1_{A_{s_1}}(X_1) 1_{A_{s_2}}(X_2) \ldots 1_{A_{s_k}}(X_k)$ con funciones continuas $f_1(X_{s_1})f_2(X_{s_2})\ldots f_k(X_{s_k})$ (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Urysohn%27s_lemma )

la razón por la que se elige la familia del producto de funciones continuas es que a menudo se tratan mejor las propiedades de las funciones continuas (de hecho, puede que sólo se necesite un conjunto denumerable de funciones continuas, dependiendo del problema en cuestión, esto es muy útil).

nótese que se puede conocer una medida por sus valores en conjuntos medibles ( $\{\mu(A), A \in \mathcal{F}\}$ ) Pero también se puede conocer una medida por sus valores sobre funciones continuas $\{\mu(f) = \int f \, d\mu, f \in C(X)\}$ cuando $X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto. (Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz%E2%80%93Markov%E2%80%93Kakutani_representation_theorem )