¿Cuál es la descripción básica de la interacción de intercambio entre dos electrones?
Por ejemplo, me parece que los únicos ingredientes necesarios son la interacción de Coulomb y el requisito de que la función de onda total sea antisimétrica.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La interacción de intercambio es una adición a otras interacciones entre partículas idénticas causadas por la simetría de permutación.
Esta adición es el resultado de la forma específica de la función de onda multipartícula. No aporta ninguna contribución al Hamiltoniano, a diferencia de las interacciones "habituales", pero aparece como un término adicional en las ecuaciones de solo -funciones de onda de partículas (por ejemplo, la ecuación de Hartree-Fock).
Interacción generalmente asociada a la energía y las fuerzas. Podríamos encontrar la corrección de intercambio como una fuerza añadida a las fuerzas de Coulomb, pero primero deberíamos entender qué es una fuerza en un sistema cuántico.
Consideremos dos fermiones con funciones de onda de coordenadas de una sola partícula $\psi_a(x)$ et $\psi_b(x)$ y fucniones de ondas de espín $\phi_a(s)$ et $\phi_b(s)$ . Las posibles fucniones de onda de dos partículas son singlete con parte de coordenadas simétricas $$ \Psi_S(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \psi_a(x_1)\psi_b(x_2) + \psi_a(x_2)\psi_b(x_1) \right] $$ y triplete con parte de coordenadas antisimétricas $$ \Psi_A(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \psi_a(x_1)\psi_b(x_2) - \psi_a(x_2)\psi_b(x_1) \right] $$
Que el Hamiltoniano de dos partículas no dependa de los espines: $$ \hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}_1 + \hat{\mathbf{p}}_2}{2m} + V(x_1, x_2) $$ entonces la energía media de la interacción será: $$ U_S = \left<\Psi_S\right|V\left|\Psi_S\right> = U + U_\text{ex} $$ $$ = \left<\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\right|V\left|\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\right> + \left<\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\right|V\left|\psi_a(x_2)\psi_b(x_1)\right> $$ $$ U_A = \left<\Psi_A\right|V\left|\Psi_A\right> = U - U_\text{ex} $$ $$ = \left<\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\right|V\left|\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\right> - \left<\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\right|V\left|\psi_a(x_2)\psi_b(x_1)\right> $$
El término $U_\text{ex}$ no es cero sólo si las partículas están lo suficientemente cerca unas de otras y sus funciones de onda se solapan (véase la imagen de abajo). En el límite clásico, cuando la distancia $L$ es grande el solapamiento es cero y $U_S=U_A=U$
Supongamos que $\psi_a$ et $\psi_b$ son no negativos en todas partes yv $V$ actúa como interacción de Coulomb (es decir, es positiva y disminuye al aumentar la distancia). Entonces $U$ et $U_\text{ex}$ son positivos y la energía del estado de coordenadas simétricas (espinas opuestas) es mayor que la energía del estado de coordenadas antisimétricas (espinas similares). Si las posiciones medias de las partículas son fijas la interacción de intercambio pondrá los espines en la misma dirección.
La fuerza de interacción entre las partículas puede definirse como la fuerza generalizada correspondiente al parámetro L: $$ F = -\frac{\partial U}{\partial L} $$ Dentro de nuestras hipótesis sobre $\psi_a$ , $\psi_b$ et $V$ la derivada de ambos $U$ et $U_\text{ex}$ son negativos. Por lo tanto, la fuerza "habitual" es positiva (repulsión) y la fuerza de intercambio es positiva para el estado de coordenadas simétricas y negativa para el estado de coordenadas antisimétricas (atracción).
Así, la interacción de intercambio para el caso de dos partículas puede considerarse como una fuerza adicional que depende de la configuración del espín. Para múltiples partículas esto es más complicado.
