$f_n(x) = [x_n+g(x)]^2$ no convergerá uniformemente cuando $x_n\to 0$ et $g$ no tiene límites

Question

Sea $x_n$ sea una sucesión de reales tal que $x_n\to 0$ cuando $n\to \infty$ . Demuestre que si $g:X\to \mathbb{R}$ no está acotada, entonces:

$$f_n(x) = [x_n+g(x)]^2$$

no convergerá uniformemente

Intenté ampliar en

$$f_n(x) = x_n^2+2x_ng(x)+g^2(x)$$

Creo que $x_n^2$ irá a $0$ también, pero no sé nada del resto. ¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

Así que $f_{n}(x)\rightarrow (g(x))^{2}$ puntualmente. Asumiendo que es uniformemente convergente, entonces escogiendo algún $N$ tal que $|(x_{n}+g(x))^{2}-(g(x))^{2}|<1$ para todos los $x$ et $n\geq N$ . Dejar $n=N$ sea fijo, entonces $|x_{N}^{2}+2x_{N}g(x)|<1$ para todos los $x$ . Simplemente variando $x$ tal que $g(x)$ sea lo más grande (más o menos) posible, violará la desigualdad.