Si $A$ , $B$ son $3\times 3$ matrices, y todos los elementos son diferentes entre sí y mayores en su valor absoluto que 3, entonces es $AB \ne 0$ ?

Question

Sea $A$ et $B$ ser dos $3\times 3$ matrices. Todas las entradas de $A$ son distintos y todas las entradas de $B$ son distintos. Todas las entradas de ambas matrices son mayores en su valor absoluto que 3. Entonces $AB \ne 0$ .

¿Es esto cierto o falso, y por qué?

Answer 1

$$\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 5 & 10 & 15 \\ 7 & 14 & 21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -28 & -35 & -49 \\ 8 & 10 & 14 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

La idea era empezar con

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 & -7 & -7 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ y luego experimentar multiplicando filas y columnas respectivamente por constantes hasta que los elementos de cada matriz respectiva sean distintos. Puedes leer esas constantes desde la primera columna y la última fila: $4, 5, 7$ .

Answer 2

Sugerencia: piense en $AB$ en términos de espacios de filas y columnas. ¿Qué significa para $(AB)_{11}$ ser $0$ en función de las filas de $A$ y columnas de $B$ ?