Problema de números palindrómicos

Question

Supongamos que $a$ sea un número palindrómico de 28 dígitos. Dado que $a$ es múltiplo de $13$ y todos los dígitos excepto el 13, 14, 15 y 16 son $1$ . Sea $A, B, C, D$ son los dígitos 13, 14, 15 y 16, respectivamente. ¿Cuál es el valor mínimo posible de $A+B+C+D$ ?

Estoy intentando seguir la regla de divisibilidad de $13$ , pero parece que no puede resolver el problema anterior. Es demasiado complicado y largo.

¿Me ayudarías? Gracias.

Answer 1

Utilice el hecho de que $13$ divide $1001$ . Así, como la prueba de divisibilidad para $11$ pero en base $1000$ en lugar de base $10$ separa grupos de tres dígitos por la derecha y toma la suma alternada.

Debería comprobar que el $1$ dígitos cancelan y al final, $BCD-A$ debe ser múltiplo de $13$ .

Como el número es palindrómico $B=C$ et $A=D$ . Así $BB0$ debe ser múltiplo de $13$ forzando $B=0$ pero permitiendo la libre elección de $A$ . Por lo tanto, la suma mínima es $0+0+0+0=0$ .

Answer 2

Para evitar una larga prueba de divisibilidad, podemos partir del hecho de que $13$ divide $1001$ y utilizar algunos conocimientos aritméticos:

$1001\times111=111111$ (Seis $1$ s)
$111111\times1000001=111111111111$ (Doce $1$ s)
$1111,1111,1111\times1,0000,0000,0000,0001=1111,1111,1111,0000,1111,1111,1111$
(Doce $1$ s, cuatro $0$ s, doce $1$ s. Comas añadidas para mostrar claramente cuántos dígitos hay).

Este último número es el requerido $28$ -palíndromo, se ha demostrado que es múltiplo de $13$ y tiene $A+B+C+D=0$ que, por tanto, debe ser la suma mínima.